Singularidades en tiempo finito de soluciones de la ecuación de Euler y de Navier - stokes en tres dimensiones espaciales

Abstract

El objetivo de este trabajo es revisar la historia de un problema formulado hace ya más de 250 años, y que todavía no ha abandonado el terreno de la conjetura. De hecho, las ecuaciones de Euler y de Navier - Stokes en tres dimensiones espaciales constituyen hoy en día un desafío para matemáticos, físicos e ingenieros; aunque mucho se ha descubierto, la naturaleza de las soluciones sigue siendo un gran misterio. Precisamente, se ignora si las soluciones de la ecuación de Euler o de Navier - Stokes tridimensional (en el caso incompresible), partiendo desde condiciones iniciales regulares, mantienen esta propiedad en todo tiempo posterior, o bien desarrollan en tiempo finito una singularidad. La investigación comienza con un repaso de aquellos conceptos esenciales de la mecánica de medios continuos que se consideran indispensables para un futuro estudio de la formación de singularidades en las soluciones de la ecuación de Euler o de Navier - Stokes tridimensional. Dentro de este repaso se otorga particular atención a la ecuación de evolución de la vorticidad, una de las herramientas fundamentales en el tratamiento matemático de los fluidos, ya sean ideales o viscosos. Posteriormente se revisan los resultados clásicos concernientes a la existencia, unicidad y regularidad de soluciones de la ecuación de Euler y Navier - Stokes incompresible (en los casos bidimensional y tridimensional). A partir de estos teoremas surge naturalmente el fenómeno del quiebre, en tiempo finito, de la regularidad de dichas soluciones. Este misterio ha sido parcialmente desvelado por el ya famoso criterio de Beale - Kato - Majda, que establece que si una solución inicialmente suave de la ecuación de Euler o de Navier - Stokes 3D desarrolla una singularidad en el instante $T^{*} > 0$, entonces su campo de vorticidad $\omega(t)$ se acumula tan rápidamente en el tiempo de modo tal que: $$ \lim\limits_{t \nearrow T^{*}} \int\limits_{0}^{t} \Vert \omega(s) \Vert_{L^{\infty}} \,ds = \infty. $$ Luego de elaborar un recuento histórico sobre algunos de los intentos que han sido llevados a cabo con la intención de poner fin a esta polémica (en el caso de la ecuación de Euler 3D), en el capítulo N°6 se describe detalladamente un experimento numérico del año 2014, diseñado por Thomas Hou y Guo Luo con el propósito de hallar potenciales soluciones singulares y axisimétricas de la ecuación de Euler 3D. La principal novedad de este trabajo de memoria está en el estudio del \textit{ansatz} auto - similar propuesto por Hou y Luo para formalizar sus observaciones numéricas: se demuestra analíticamente que dicho \textit{ansatz} no conduce hacia una solución singular de la ecuación de Euler incompresible y tridimensional. El trabajo de memoria concluye con la exposición de algunos resultados que son aplicables únicamente a la ecuación de Navier - Stokes incompresible y tridimensional, tales como la estimación de Caffarelli - Kohn - Nirenberg de la medida de Hausdorff del conjunto de puntos singulares, o bien, diversos teoremas del tipo Liouville en este contexto.