Resolución de algunos problemas de valor de frontera considerando nuevas ecuaciones constitutivas no lineales para materiales piezoeléctricos

Abstract

En el presente trabajo se estudian nuevas ecuaciones constitutivas no lineales para cuerpos electroelásticos que no son de Green, donde la deformación y polarización son funciones explícitas del esfuerzo y el campo eléctrico, específicamente para el caso isotrópico y de pequeñas deformaciones. Estas ecuaciones, a diferencia de otras anteriormente planteadas por Rajagopal y Bustamante, consideran el cumplimiento de las leyes de la termodinámica para el caso en que no existe cambio de entropía ni de temperatura en el material. A estas nuevas relaciones constitutivas se les asocia una función isotrópica, tal que se permita describir tanto el fenómeno de "strain limiting" a grandes esfuerzos, como el de la saturación de la polarización para campos eléctricos elevados. Se procede a realizar un fitting de las ecuaciones con datos experimentales de las curvas de deformación-esfuerzo del compuesto ferroeléctrico BiFeO3, y las curvas de polarización-campo eléctrico del compuesto PLZT 8/60/40, acoplando así los fenómenos mecánicos y eléctricos de ambos materiales. Con esto, se obtienen los valores numéricos de los coeficientes de las ecuaciones constitutivas. Una vez realizado el ajuste experimental para la obtención de resultados numéricos, se resuelven dos problemas homogéneos (variables independientes de la posición), para luego resolver cuatro problemas de valor de frontera no homogéneos unidimensionales (donde las variables independientes del modelo están en función de la posición): el primero corresponde a una cáscara esférica inflada bajo campo eléctrico radial, y los otros tres para un tubo cilíndrico inflado bajo campo eléctrico radial (i) en ausencia de corte, (ii) con corte axial (iii) y con corte circunferencial. Los problemas anteriores se resuelven usando el solver de ecuaciones diferenciales sobre componentes unidimensionales del programa COMSOL 5.3a. Los resultados numéricos muestran como las distintas componentes de las variables mecánicas y eléctricas varían a distintas presiones internas y potenciales eléctricos aplicados a las fronteras de las geometrías esféricas y cilíndricas. En los casos con presencia de corte, se varía el corte aplicado a la frontera interna para evaluar el efecto de este en las otras variables. Se observa en el caso esférico que el modelo no converge a presiones mayores de 55[MPa], y para el caso cilíndrico a presiones de 30[MPa], ambas geometrías evaluadas en todo momento con radios internos de 5[cm] y externos de 12[cm]. Por su lado, los problemas convergen para potenciales eléctricos menores a 150[kV]. Se evidencia además el fenómeno de "strain limiting" y de saturación de la polarización en los resultados para cada uno de los problemas planteados, algo que los modelos lineales no logran captar.