Promedios ergódicos con origen en la teoría de números

Abstract

El objetivo de esta tesis consiste en estudiar promedios ergódicos a través de secuencias distintas de $(n)_{n\in \N}$.Se estudian principalmente promedios ergódicos que vienen de la teoría de número.En particular estaremos interesados en promedios que vienen de las funciones $\omega_{\K}$ y $\Omega_{\K}$, donde $\K$ es un cuerpo algebraico. Mostraremos que estos promedios convergen para funcioes continuas y sistemas únicamente ergódicos, que convergen también en norma para un sistema arbitrario que preserva la medida, y que no necesariamente convergen para una gran clase de sistemas medibles y funciones no necesariamente continuas.\\\\ El primer capítulo de la tesis, da una breve introducción a la teoría ergódica, dando las principales definiciones en el ámbito medible y el topológico. También se entregan los elementos básico de los cuerpos algebraicos, y se dan las herramientas de teoría de números que serán necesarias en capítulos posteriores. En el segundo capítulo, se revisan brevemente resultados distintos pero relacionados sobre convergencia de promedios ergódicos a través de funciones aritméticas.\\\\ En este capítulo también se plantean las preguntas centrales de la tesis, que consiste en preguntar si los promedios ergódicos a través de la función omega tiene buenas o malas propiedades de convergencia.Más tarde en el mismo capítulo, estás preguntas son respondidas. Se demuestra que estos promedios convergen puntualmente para funciones continuas y sistemas unicamente ergódicos, pero también falla la convergencia si solo consideramos funciones medibles.\\\\ El Capítulo 3, consiste de aplicaciones de los teoremas del Capítulo 2 en la equidistribución en teoría de números y también en la convergencia de promedios ergódicos que involucran una transformación.\\\\ Finalmente, en el Capítulo 4, se resume el trabajo, se presentan preguntas abiertas y se sugieren líneas de investigación a futuro.

The objective of this thesis is to study the properties of several ergodic averages along sequences different than (n)n∈N. We will deal mainly with ergodic averages with a numbertheoretical motivation. In particular, we are interested in averages that come from the ωK and ΩK functions, where K is an algebraic field. We show that these averages converge for continuous functions and uniquely ergodic systems, that they converge in norm for arbitrary measure-preserving systems, and that they do not converge almost everywhere for a vast class of measurable systems and non necessarily continuous functions. The first chapter of the thesis gives a brief introduction to ergodic theory, stating the main definitions in the measurable and topological setting. Also, we give the fundamentals of number fields, and the number-theoretic input required to proceed in later chapters. In Chapter 2, we briefly review different but related results on the convergence of ergodic averages along arithmetic functions. In this chapter, we also state the central questions of the thesis, which ask whether ergodic averages along the omega’s function in number fields have good or bad convergence properties. Later in the same chapters, these questions are answered. We prove that such averages converge pointwise for continuous functions and uniquely ergodic systems but that they fail to converge pointwise for only measurable functions. Chapter 3 consists of applications of the previous theorems to results on equidistribution in number theory and the norm convergence of some single transformation ergodic averages. Finally, in Chapter 4, we summarize the work, present some open questions, and suggest directions for future research.