Algoritmo de filtraje no lineal basado en operador de Koopman, aplicado a epidemiología

Abstract

El problema de filtraje consiste en la reconstrucción de trayectorias a partir de observaciones parciales y ruidosas de un sistema dinámico. Este problema, recurrente en ingeniería y ciencias, ha captado la atención de diversas áreas de investigación y múltiples autores desde el siglo pasado. Su formalización inicial se atribuye a Wiener, mientras que Kalman proporcionó una solución óptima en el contexto lineal. Sin embargo, los trabajos de Stratonovich demostraron que, en el caso general, es imposible obtener soluciones óptimas y de dimensión finita, por lo que cualquier algoritmo computacional solo puede devolver soluciones subóptimas.

Desde la época de Kalman, se han desarrollado diversos algoritmos para tratar dinámicas y observaciones no lineales, como el Extended Kalman Filter y el Unscented Kalman Filter. No obstante, estos métodos carecen de cotas de error asintóticas con respecto al óptimo del problema de filtraje. Por otro lado, se han propuesto soluciones asintóticamente óptimas, como los filtros de partículas y los Ensemble Kalman Filters, los cuales, en un contexto general, presentan un error del orden de O(N^(-1/2)).

Estas técnicas son de particular interés en epidemiología, donde los modelos que surgen son intrínsecamente no lineales debido a las interacciones entre una población susceptible y una infectada. Por ello, todos los experimentos numéricos presentados en este trabajo se basan en modelos derivados del clásico modelo SIR de Kermack y McKendrick.

En este trabajo de tesis, se propone un algoritmo de filtraje no lineal para un caso general, el cual posee una cota de error de O(N^(-1/2)), lo que lo posiciona como una alternativa competitiva frente a los algoritmos existentes. Para su construcción, se emplea la teoría del operador de Koopman, cuyos orígenes se remontan a la década de 1930 con los trabajos de Koopman y Von Neumann. En la última década, esta teoría ha experimentado un resurgimiento significativo en las comunidades que estudian sistemas dinámicos basados en datos.

La propuesta combina la teoría del operador de Koopman con la de los Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS), ampliamente utilizada en el ámbito del aprendizaje de máquinas. A partir de las propiedades del operador de Koopman en estos espacios, se deduce una cota de error de aproximación del operador y se construye un filtro, probando una cota de error asociada.

Finalmente, se realizan experimentos numéricos para comparar el algoritmo propuesto con los filtros no lineales existentes. Además, se aplica el filtro en la estimación de parámetros, compitiendo con algoritmos de tipo MCMC que utilizan samplers como Differential Evolution Metropolis y No-U-Turn Sampler (NUTS). Los resultados demuestran que el algoritmo propuesto no solo es competitivo, sino que en muchos casos supera a los métodos mencionados, especialmente en términos de tiempo de ejecución.