Quasimetric spaces : diameter versus numbers of lines
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2025Metadata
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Matamala Vásquez, Martín
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Quasimetric spaces : diameter versus numbers of lines
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Abstract
El teorema clásico de De Bruijn y Erdös establece que cualquier conjunto de n puntos en
el plano euclidiano, que no se encuentren todos sobre una misma línea, determina al menos
n líneas distintas. Este resultado fundamental de la geometría combinatoria inspiró a Chen
y Chvátal a proponer una conjetura que extiende esta idea a espacios métricos finitos: todo
espacio de este tipo debe contener una línea universal o tener al menos tantas líneas como
puntos. Aunque la conjetura ha sido confirmada para varias clases de espacios, su resolución
completa sigue abierta.
En este contexto, la presente tesis explora el comportamiento de las líneas en espacios
cuasimétricos finitos. Buscamos descripciones estructurales de grafos, dígrafos y espacios
cuasimétricos, identificando configuraciones precisas que minimizan el número de líneas, especialmente bajo restricciones sobre el diámetro.
Nuestros resultados destacan la interacción entre diámetro, pocas líneas y estructuras de
betweenness, y revelan diferencias clave entre los marcos métricos y cuasimétricos. En conjunto, este trabajo contribuye al desarrollo de la teoría combinatoria de líneas en espacios finitos
y ofrece nuevas perspectivas para comprender las propiedades que subyacen a la Conjetura
de Chen–Chvátal. The classical theorem of De Bruijn and Erdös states that any set of n points in the Euclidean
plane, not all lying on a single line, determines at least n distinct lines. This fundamental
result in combinatorial geometry inspired Chen and Chvátal to propose a conjecture extending
this idea to finite metric spaces: every such space should either possess a universal line or
have at least as many lines as points. Although the conjecture has been confirmed for several
classes of spaces, its full resolution remains open.
In this context, the present thesis explores the behavior of lines in finite quasimetric spaces.
We seek for structural descriptions of graphs, digraphs, and quasimetric spaces, identifying
precise configurations that minimize the number of lines, specially when a restriction on the
diameter is considered.
Our results highlight the interplay between diameter, few lines, and betweenness structures, and reveal key distinctions between metric and quasimetric frameworks. Altogether, this
work advances the combinatorial theory of lines in finite spaces and offers new perspectives
for understanding the properties underlying the Chen–Chvátal Conjecture.
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Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática
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Este trabajo ha sido parcialmente financiado por:
proyecto basal FB210005 y beca Doctorado Nacional ANID 2121195.
Identifier
URI: https://repositorio.uchile.cl/handle/2250/205653
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