Un Problema Extremal de Valores Propios para un Conductor de Dos Fases en una Bola

Abstract

El tema que trata esta memoria de titulo es minimizar el primer valor propio de un conductor compuesto por dos materiales homogéneos, que son distribuidos en proporciones fijas dentro de un dominio. Los trabajos pioneros de F. Murat y L. Tartar [26] muestran que esta clase de problemas del cálculo de variaciones podrían tener existencia de minimizadores sólo en una clase más grande, llamada clase de materiales homogenizados o con micro-estructura, excluyendo a priori distribuciones clásicas de material como soluciones optimales. Para dominios en una dimensión, M. G. Krein [22] probó la existencia de una solución clásica. En dimensiones más altas, cuando el problema se restringe a una bola, A. Alvino, P. L. Trombetti y P. L. Lions [4] probaron que se pueden obtener soluciones clásicas radialmente simétricas. Sin embargo, estos resultados han sido vistos como excepcionales, atribuidos a la completa simetría del dominio. Cox y Lipton [11], sólo estudiaron condiciones para un diseño óptimo del problema asumiendo soluciones homogenizadas. Aún es desconocido si en dominios con simetría parcial es posible o no obtener una solución clásica que respete la simetría del dominio. Esperamos revivir el interés a esta pregunta dando una nueva prueba del resultado en una bola. Creemos además que, en este caso, distribuir el material de mayor conductividad en el centro es una solución óptima. En los primeros capítulos se introduce el problema y se hace un resumen crítico del estado del arte en lo que se refiere a la existencia de un minimizador, incluyendo algunas referencias clásicas que plantean la no existencia de solución para problemas similares. Luego se describen las principales herramientas utilizadas en el desarrollo de esta tesis. Se da un énfasis particular a los re-arreglos de funciones. En el capítulo cuarto se describe el problema general y en el quinto un análisis exhaustivo del problema en una dimensión. En el capítulo sexto se desarrolla el caso de una bola N dimensional, otorgando una nueva prueba de la existencia de una solución clásica radialmente simétrica. En el capítulo séptimo se desarrolla el cálculo de la derivada con respecto al dominio del primer valor propio, y en el octavo se muestran experiencias numéricas asociadas al problema, en el caso de un disco en R2. En el capítulo noveno se genera un análisis del signo de la derivada para el caso de una bola N dimensional, otorgando resultados, con los cuales se espera concluir, en un futuro próximo, que la solución del problema para este tipo de dominios, se encuentra disponiendo el material de más alta conductividad en el centro.