Complejidad Comunicacional y Universalidad Intrínseca en Autómatas Celulares Unidimensionales

Abstract

Encontrar buenas cotas inferiores y condiciones necesarias para nociones de complejidad y universalidad es uno de los mayores desafíos en el área de la informática teórica. En este sentido, la teoría de la complejidad comunicacional ha resultado ser una herramienta útil para abordar tal problemática en diversos modelos de computación, tales como circuitos booleanos, máquinas de Turing y modelos no convencionales. En este trabajo se incorporan tales técnicas al estudio del conjunto de autómatas celulares unidimensionales.

Dada una relación de simulación ≤ y autómatas celulares (ACs) Φ y Ψ, se denota Φ ≤ Ψ si es el caso que Φ puede ser simulado por Ψ. Un AC Ψ capaz de simular a todo otro AC Φ es denominado como intrínsecamente ≤ - universal. Aquí son considerados tres tipos de simulaciones presentes en la literatura: sobreyectiva, inyectiva y mixta, siendo las dos últimas capaces de soportar universalidad intrínseca. Por otro lado, para la primera de éstas, la existencia de un elemento universal aún sigue siendo un problema abierto.

Seguidamente, son definidos cinco problemas comunicacionales inducidos por ACs: Pred, Cycl, SInv, TInv y CInv, de tal manera que PΦ(x, y) indica la parametrización de un problema genérico P por un AC Φ, donde AΦ es el conjunto de estados de éste y x, y ϵ AΦ+ son inputs. Tales problemas cumplen con ser compatibles comunicacionalmente, esto es, si Ψ simula a Φ, se tiene que la complejidad comunicacional asociada a Φ es de menor o igual orden a la de Ψ. De este modo, si la complejidad comunicacional de PΦ es de orden estrictamente menor a la de PΨ, se puede deducir que Φ no es intrínsecamente universal.

Luego, como punto fuerte, se introduce una nueva problemática comunicacional que logra aunar las técnicas y condiciones necesarias previamente estudiadas. Informalmente, cuando Alice y Bob (los participantes en el modelo usual de complejidad comunicacional) reciben respectivamente inputs x e y, tienen la posibilidad de escoger qué problema P resolver. Se entregan resultados mostrando que tal libertad hace de este nuevo problema, denominado Ovrl, un potente filtro a la hora de desechar ACs como intrínsecamente universales. Más precisamente, se construye un AC con complejidad máxima en los cinco problemas anteriores y complejidad constante en Ovrl.

Finalmente, se utilizan las herramientas desarrolladas para descartar en familias completas de autómatas celulares la cualidad de universalidad intrínseca. Además, se estudia la estructura de los preórdenes dados por las relaciones de simulación, caracterizando algunos conjuntos cerrados bajo simulación, tales como los ACs sobreyectivos, cerrados y reversibles, entre otros.