Utilización de métodos de cálculo variacional en problemas de diseño de mecanismos

Abstract

El objetivo del presente trabajo es desarrollar técnicas de cálculo variacional que permitan resolver problemas de diseño de mecanismos. En particular, se aborda con este enfoque el problema de diseño óptimo de subastas, para el caso de uno y dos jugadores. Usando estas técnicas se caracterizan las soluciones del problema resuelto por Myerson (1981), agregándose además el desarrollo de un algoritmo que no requiere utilizar de forma explícita la técnica de "ironing". En el caso de un jugador se caracteriza completamente la solución del problema y se demuestra que esta caracterización es equivalente a la encontrada por Myerson. En el caso de dos jugadores, asumiendo que las valoraciones virtuales de ambos jugadores tienen una cantidad finita de cambios de crecimiento y son constantes en una cantidad finita de intervalos maximales, se desarrolla un algoritmo que permite encontrar la solución. El problema se caracteriza como el de encontrar la frontera entre los conjuntos de asignación propios de cada jugador (lo que es posible debido a la existencia de una solución bang-bang al problema) y se encuentran las condiciones necesarias que debe satisfacer esta frontera en el óptimo. Además, se muestra que la frontera que induce la solución de Myerson satisface las condiciones necesarias encontradas. Las condiciones de optimalidad indican que los puntos que pertenecen a una zona estrictamente creciente de la frontera son tales que las valoraciones virtuales de ambos jugadores son las mismas. Por otro lado, las zonas donde la frontera es un segmento horizontal o vertical corresponden a intervalos de tipos distintos que son tratados de forma idéntica por el diseñador. Estos intervalos pueden ser precisamente caracterizados de forma variacional y corresponden a intervalos donde la integral de la valoración virtual es igual al valor que tendría la integral si esta función fuera constante. Este trabajo deja abierta la caracterización para el caso general de $N$ jugadores. Por otro lado, la caracterización variacional se basa en la existencia de una solución del tipo bang-bang. Queda abierta la pregunta de cómo demostrar que esto es cierto sin conjeturar un problema relajado cuya solución termine siendo la solución del problema original (como en Myerson (1981) ).