Herramienta para la solución de EDP sobre dominios generales en 2-D mediante métodos adaptativos

Abstract

En este trabajo se discute un sistema experimental para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) elípticas o parabólicas sobre dominios en 2-D mediante el método de elementos finitos (MEF). La herramienta combina algoritmos de refinamiento y desrefinamiento de triangulaciones conformes sobre dominios generales con bordes curvos en las fronteras e interfaces de medios; el MEF, usando elementos lineales; una estructura de datos adecuada; el uso de estimadores del error cometido en la resolución numérica; una interfaz gráfica sobre XWindows y un lenguaje declarativo para la definición de los problemas. La herramienta fue desarrollada en forma modular, para permitir la incorporación de nuevas opciones, como elementos de grado mayor en el uso del MEF, y utiliza librerías externas, como son, Sparse y SuperLU para la resolución de los sistemas de ecuaciones poco densos, pdraw para visualización de resultados en 3D y GLADE para construcción de la interfaz gráfica; todas estas herramientas corresponden a software de código abierto. La herramienta tiene un uso potencial en una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo en cálculo estructural, y mecánica de fluidos y permite al usuario manejar en forma flexible la adaptabilidad, pudiendo definir o modificar a través de la interfaz gráfica, las triangulaciones, nodos, conexiones, moléculas, condiciones de borde y lados curvos. Esta interfaz, también permite al usuario definir o modificar tanto el problema que se desea resolver, como las regiones en las que el usuario desea dirigir ya sea el refinamiento como el desrefinamiento de la triangulación. Los estimadores de error utilizados permiten crear indicadores que dirigen el refinamiento y desrefinamiento en forma adaptativa, para mejorar la solución con la menor interacción del usuario. Con ello solo se debe definir una triangulación inicial conforme que representa una malla gruesa y luego por medio de los mecanismos de refinamiento explícito o los procesos adaptativo, obtener una triangulación que provea de una malla mas fina, que permitirá obtener una solución de mejor calidad. Se ilustra el uso del sistema con problemas de prueba, de solución conocida; se muestra la imagen de la malla inicial del dominio y de algunas iteraciones, la malla y solución asociada. Se concluye que esta herramienta constituye un software general, flexible y sencillo de usar para resolver problemas de EDP sobre dominios en 2-D generales.