Comportamiento asintótico de los procesos de Markov deterministas por pedazos

Abstract

En esta tesis doctoral se abordan dos problemas relacionados con el comportamiento en tiempo largo de los procesos de Markov deterministas por pedazos (PDMP). En primer lugar se estudia el comportamiento asintótico de un PDMP general en relación con el comportamiento y propiedades de una cadena de Markov a tiempo discreto embuída. Este problema se desarrolla en el Capítulo 1. En segundo lugar, se considera un PDMP específico llamado Proceso del tamaño de ventana del TCP (sigla en inglés del protocolo de control de transmisión usado en internet). El objetivo en este caso es encontrar tasas de convergencia explícitas al equilibrio. Este problema se estudia en el Capítulo 2. Con respecto al primer problema, en el Cap´ıtulo 1 se relacionan las propiedades de recurrencia positiva y las medidas de probabilidad invariantes de un proceso PDMP general con las de una cadena espacio-tiempo discreta, formada por las posiciones post-salto del proceso y las longitudes de tiempo entre saltos. Esta cadena discreta se obtiene de manera simple a partir de las características locales que definen el proceso a tiempo continuo y contiene más información que la cadena discreta post-salto que ha sido habitualmente considerada. Utilizando esta cadena espacio-tiempo se puede definir un nuevo proceso a tiempo continuo asociado, formado por tres coordenadas: el proceso continuo propiamente dicho, la longitud de tiempo trancurrido desde el último tiempo de salto y la longitud de tiempo que falta para el siguiente tiempo de salto, en analogía con los procesos edad y vida residual de teoría de renovación. En este capítulo se describe completamente el equilibrio de este proceso asociado y se establece un resultado análogo de la waiting time paradox de teoría de renovación en el contexto de los PDMP. Para el segundo problema, en el Capítulo 2 se obtienen tasas de convergencia exponencial al equilibrio en distancia Wasserstein y en la norma en variación total. Estos resultados se basan en algunos argumentos de acoplamiento nuevos y dan una respuesta a una pregunta importante sobre el protocolo de transmisión de internet TCP, que es el entender cómo la congestión del tamaño de ventana del TCP alcanza equilibrio en tiempo largo.