Problemas inversos y cálculo de variaciones: aplicaciones a la biología y al análisis de imágenes

Abstract

tema central de esta tesis, para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería con mención en Modelamiento Matemático, es el estudio de los llamados problemas inversos, el modelamiento matemático de fen ́omenos de interacción fluido estructura y la implementacio ́n num ́erica de un algoritmo de segmentación. Este trabajo se divide en tres partes. En primer lugar (Capítulo 2), estudiamos un problema inverso en biologia. Nos interesamos en la posibilidad de recuperar la densidad de un canal iónico (canal CNG) en el cilio olfatorio, sólo midiendo la corriente producida al activar el sistema mediante la difusión de un agente en el interior del cilio. Este problema es modelado como un problema inverso en que interviene una ecuación de Fredholm lineal, de primer tipo, con un núcleo difusivo. Consideramos una aproximación para el núcleo del operador, obteniendo los siguientes resultados: a) Problema de identificabilidad: Bajo diferentes regularidades de la función de densidad, logramos establecer la inyectividad del operador bajo estudio. b) Problema de estabilidad: Tanto en el caso general, usando la transformada de Mellin, como en un caso particular de los parámetros del problema, logramos establecer la estabilidad, bajo diferentes normas, es decir, la continuidad del inverso del operador. d) Problema de reconstrucción: En el caso de una elección apropiada de los par ́ametros del problema, logramos construir la función inversa. e) Reconstrucción numérica: Utilizando la inversa, construida en la parte anterior, implementamos un algoritmo numerico de reconstrucción de la densidad. Por otra parte, en el Capítulo 3 investigamos la controlabilidad de un submarino inmerso en un volumen infinito de un fluido potencial. Consideramos como control, el flujo del fluido a través de una parte de la frontera del móvil. Se llega a un sistema finito dimensional, similar al sistema de Kirchhoff, en el cual los controles aparecen a través de un término lineal (con derivada temporal) y uno bilineal. Aplicando el método del retorno, establecimos bajo ciertas condiciones geom ́etricas un resultado de controlabilidad local para la posición y velocidad del veh ́ıculo sólo con cuatro controles. Finalmente, en el Capítulo 4 implementamos un algoritmo numérico que permite resolver el problema de segmentación de una imagen, desde un punto de vista relajado, pues permite segmentar la imagen en un nu ́mero de la forma 2^N colores. Implementamos una variante del esquema del funcional de Ambrosio & Tortorelli, el cual aproxima en el sentido de la Γ-convergencia al funcional propuesto por Mumford & Shah, en esencia nuestra variante es inspirada por los trabajos de T. Chan.