Algunos resultados teóricos y numéricos en procesamiento de imágenes digitales

Abstract

El objetivo principal del presente trabajo es el estudio, tanto teórico como numérico, de métodos de procesamiento de imágenes orientados al área de las señales e imágenes con texturas. Se comienza con una revisión de conceptos básicos tanto en procesamiento de imágenes, como en herramientas matemáticas de interés, se exploran trabajos previos que motivan buena parte de esta memoria. En particular los trabajos de filtros no locales, formulados por Buades en 2005 y los funcionales no locales del tipo Mumford-Shah, formulados por Jung et al. en 2011, además de varios trabajos clásicos del área del cálculo de variaciones ligados al procesamiento de imágenes. Más adelante, se explora en detalle el problema de segmentación, estableciendo una definición concreta y ejemplos de aplicación, presentando luego el funcional de Mumford-Shah. Se analiza la limitación de este funcional desde el punto de vista numérico para realizar segmentación y por esto se introduce el funcional de Ambrosio-Tortorelli, donde destacan sus resultados más importantes, en particular la $\Gamma$-convergencia al funcional de Mumford-Shah relajado. Como desarrollo central, se trabajó el problema de segmentación no local, considerando el funcional planteando por Jung et al. en 2011. Se prueba que en el caso unidimensional el funcional no es adecuado en el sentido del Gamma-límite obtenido, el cual no penaliza el conjunto de discontinuidades de la señal u. A partir de esto, se propone un funcional modificado que, bajo ciertas suposiciones sobre la función de peso no local w(x,y), permite obtener un término que es equivalente como semi-norma a la semi-norma de Slobodeckij, lo que implica que el funcional quede definido en el espacio H^s\times H^1, donde H^s es el espacio de Sobolev fraccionario con s en (1/2,1). Se prueba rigurosamente la Gamma-convergencia a un funcional que se puede interpretar como el funcional de Mumford-Shah relajado con gradiente no local. Este resultado es relevante porque en este caso el Gamma-límite sí penaliza el conjunto de discontinuidades de la señal u, que es el comportamiento deseado para estos funcionales. A continuación, se exponen las llamadas funciones de Gabor generalizadas, para ser utilizadas en la aproximación de una señal, utilizándose como ejemplo las splines exponenciales (complejas), que corresponden a funciones trigonométricas con soporte compacto, permitiendo aproximar una señal en diferentes niveles de resolución. Finalmente, se presenta la implementación numérica de los modelos considerados, partiendo por filtros no locales, modelos de segmentación local y no local, y concluyendo con la aproximación por splines exponenciales. Se exponen simulaciones numéricas que permiten comparar diversos métodos además de explorar las ventajas y limitaciones de cada método en particular, concluyendo que existe evidencia de que estos métodos efectivamente permiten mejorar el análisis de señales e imágenes que contienen texturas.