Nonlinear principal components analysis for measures and images

Abstract

En esta tesis definimos dos adaptaciones no-lineales del análisis de componentes principales, para el estudio de la variabilidad de datos conformados por medidas de probabilidad y por imágenes. En el Capitulo 2 introducimos el método de análisis de componentes principales geodésico (ACPG) en el espacio de medidas de probabilidad en la línea real, con segundo momento finito, dotado de la métrica de Wasserstein. Apoyándonos en la estructura pseudo-riemanniana del espacio de Wasserstein, definimos el ACPG basado en adaptaciones del ACP a variedades, propuestas en la literatura. En este contexto, el ACPG se define por medio de un problema de minimización sobre el espacio conformado por los subconjuntos geodésicos del espacio de Wasserstein. Usando argumentos de compacidad y de gama-convergencia, establecemos la consistencia del método, demostrando que el ACPG converge a su contraparte poblacional, cuando el tamaño de la muestra crece a infinito. Discutimos las ventajas de este método, respecto a un ACP funcional estándar de medidas de probabilidad en el espacio de Hilbert de funciones a cuadrado integrable. Con el fin de mostrar los beneficios de este procedimiento para el análisis de datos, exhibimos algunos ejemplos ilustrativos en un modelo estadístico simple. En el Capitulo 3 describimos el método de análisis de componentes principales geométrico (ACP geométrico) para analizar los modos principales de variación geométrica de un conjunto de imágenes. En este contexto proponemos modelar la variabilidad geométrica de las imágenes, respecto a un patrón medio de referencia, por medio de un operador de deformación parametrizado por un espacio de Hilbert. El ACP geométrico consta de dos etapas: (1) registro de imágenes usando un operador de deformación y (2) ACP estándar en los parámetros asociados a las deformaciones. La consistencia del procedimiento es analizada en el contexto de un modelo estadístico de patrón deformable, con una doble asíntota, donde el número de observaciones tiende a infinito y el ruido aditivo converge a cero. Para destacar los beneficios de este procedimiento, describimos un algoritmo y su aplicación a algunos experimentos numéricos con imágenes reales.