Quasi stationary distributions when infinity is an entrance boundary, optimal conditions for phase transitions in 1 dimensional ising model by peierls argument and its consequences

Abstract

Este trabajo de tesis contiene dos cap\'itulos principales, donde se estudian dos problemas independientes de Modelaci\'on Matem\'atica. En el Cap\'titulo 1 se estudia la existencia y unicidad de distribuciones quasi estacionarias para un movimiento Browniano con drift extinguido en cero, para el caso que infinito es Frontera de Entrada y cero frontera de salida de acuerdo a la clasificaci\'on de Feller. El trabajo est\'a relacionado con la publicaci\'on pionera \cite{paper}, donde algunas condiciones suficientes son establecidas para demostrar la existencia y unicidad de QSD en el contexto de una familia de Modelos de Din\'amica de Poblaciones y difusiones de Feller. El trabajo generaliza los teoremas m\'as importantes de \cite{paper} , ya que no se imponen condiciones extras para obtener los resultados de existencia y unicidad de QSD y la existencia del l\'imite de Yaglom. La parte t\'ecnica est\'a basada en la teor\'ia del problema de Sturm Liouville sobre la semirecta positiva. Espec\'ificamente, se demuestra que bajo las principales hip\'otesis existe espectro discreto si y solo si infinito es frontera de entrada y todas las eigenfunciones son simples e integrables respecto a la medida de rapidez del proceso.\\ En el cap\'itulo 2, se estudia el problema de obtener cotas optimales sobre el Hamiltoniano para el Modelo de Ising de largo alcance, con t\'ermino de interacci\'on decayendo de acuerdo a $d^{\alpha-2}$, $\alpha \in [0,1)$. El trabajo est\'a basado en el art\'iculo publicado en 2005 \cite{Paper1}, donde cotas optimales son obtenidas para el caso $\alpha \in [0,\frac{log{3}}{\log{2}}-1)$ en t\'erminos de estructuras jer\'arquicas llamadas tri\'angulos y contornos. Los teoremas principales de este trabajo pueden ser resumidos como (i) No existe una cota optimal para el Hamiltoniano en t\'erminos de tri\'angulos para $\alpha \in [\frac{log{3}}{\log{2}}-1,1)$. (ii) Existe una cota optimal para el Hamiltoniano en t\'erminos de Contornos para $\alpha \in [0,1)$, resultados que son demostrado en los Teoremas \ref{XYZ} y \ref{Teo1} respectivamente. Ambos generalizan los resultados existentes, y constituyen la principal contribuci\'on de este trabajo. Para demostrar el Teorema \ref{XYZ}, se construye expl\'icitamente una familia de contraejemplos. La parte t\'ecnica est\'a fuertemente basada en la teor\'ia de Fractales sobre Conjuntos Discretos. Para demostrar teorema \ref{Teo1} , se usa el argumento se agrupar y sumar sobre contornos con la misma masa. Las demostraciones para ambos resultados son muy t\'ecnicas y requieren una gran cantidad de c\'alculos , los cuales son entregados en detalle. Por otra parte, los teoremas principales tienen importantes implicancias en \'esta clase de Modelos. La m\'as importante y directa es la existencia de una fase de transici\'on para bajas temperaturas basada en el argumento de Peierls. Dicha demostraci\'un, es tambi\'en entregada en este trabajo.