Representation results for continuos-state branching processes and logistic branching processes

Abstract

El objetivo de este trabajo es explorar el comportamiento de los procesos de rami ficación evolucionando a tiempo y estados continuos, y encontrar representaciones para su trayectoria y su genealogía. En el primer capítulo se muestra que un proceso de ramifi cación condicionado a no extinguirse es la única solución fuerte de una ecuación diferencial estocástica conducida por un movimiento Browniano y una medida puntual de Poisson, más un subordinador que representa la inmigración, dónde estos procesos son mutuamente independientes. Para esto se usa el hecho de que es posible obtener la ley del proceso condicionado a partir del proceso original, a través de su h-transformada, y se da una manera trayectorial de construir la inmigración a partir de los saltos del proceso. En el segundo capítulo se encuentra una representación para los procesos de rami ficación con crecimiento logístico, usando ecuaciones estocásticas. En particular, usando la de finición general dada por A. Lambert, se prueba que un proceso logístico es la única solución fuerte de una ecuación estocástica conducida por un movimiento Browniano y una medida puntual de Poisson, pero con un drift negativo fruto de la competencia entre individuos. En este capítulo se encuentra además una ecuación diferencial estocástica asociada con un proceso logístico condicionado a no extinguirse, suponiendo que éste existe y que puede ser de finido a través de una h-transformada. Esta representación muestra que nuevamente el condicionamiento da origen a un término correspondiente a la inmigración, pero en este caso dependiente de la población. Por último, en el tercer capítulo se obtiene una representación de tipo Ray-Knight para los procesos de ramifi cación logísticos, lo que da una descripción de su genealogía continua. Para esto, se utiliza la construcción de árboles aleatorios continuos asociados con procesos de Lévy generales dada por J.-F. Le Gall e Y. Le Jan, y una generalización del procedimiento de poda desarrollado por R. Abraham, J.-F. Delmas. Este resultado extiende la representación de Ray-Knight para procesos de difusión logísticos dada por V. Le, E. Pardoux y A. Wakolbinger.