Intervalos errantes en transformaciones de intercambio de intervalos afines

Abstract

El estudio de la existencia de intervalos errantes en distintos tipos de sistemas dinámicos se remonta al Teorema de Denjoy, que lo realizó en los homeomorfismos del círculo. Las transformaciones de intervalos son generalizaciones naturales de las rotaciones del círculo que se pueden obtener al considerar una sección de Poincaré de un flujo lineal en una superficie compacta orientable. Las transformaciones de intervalos afines son perturbaciones de transformaciones de intervalos en las que cada pendiente es positiva, pero no necesariamente igual a uno. Se han encontrado y estudiado varios ejemplos de transformaciones de intercambio de intervalos afines con intervalos errantes. Particularmente, se han estudiado casos en las que estas transformaciones de intervalos afines con intervalos errantes son semiconjugadas a transformaciones de intercambio de intervalos autosimilares. Este trabajo se concentra en este último caso. Específicamente, se encuentran condiciones para que, dada una transformación de intercambio de intervalos autosimilar, exista una transformación de intercambio de intervalos afín que sea semiconjugada a ésta y que contenga intervalos errantes. El caso que se considera es donde la matriz de renormalización tiene un valor propio módulo mayor a 1 y que, al normalizarlo, induce una rotación irracional en el círculo. Una herramienta esencial para probar el resultado son los modelos geométricos fractales de la sustitución asociada a la transformación de intercambio de intervalos autosimilar. El resultado principal que se obtuvo es que cierta condición aritmética, que se llamará la propiedad de representación única, implica el resultado buscado. Ésta tiene que ver con la cantidad de maneras que los puntos extremos de los fractales pueden ser escritos como series de números complejos. Un segundo resultado fue encontrar otras condiciones que implican la propiedad de representación única. Éstas son: (i) condición algebraica: el valor propio mencionado anteriormente es conjugado de Galois al inverso del valor propio de Perron-Frobenius, (ii) condición geométrica: condición de finitud sobre ciertos puntos extremos de los fractales, (iii) condición combinatorial: condición sobre las componentes minimales de cierto skew product. El último resultado es aplicar las técnicas desarrolladas en este trabajo al mapeo cúbico de Arnoux-Yoccoz, probando que existe una transformación de intercambio de intervalos afín con intervalos errantes semiconjugado a este mapeo.