Software para el estudio empírico y reportes sobre el comportamiento de algoritmos de refinamiento para triangulaciones

Abstract

El método de elementos finitos, que permite resolver numéricamente problemas modelados por ecuaciones diferenciales parciales para el análisis de complejos problemas físicos sobre geometrías complejas, es una de las más importantes aplicaciones del ámbito científico. En estos problemas las geometrías son modeladas utilizando mallas geométricas, cuya calidad determina la precisión de los cálculos y de los resultados obtenidos por el método. En una malla geométrica definida por una triangulación, se entiende por calidad que el ángulo mínimo de cada triángulo esté acotado inferiormente por un valor acorde a la necesidad del problema. Dado un conjunto de puntos para construir una triangulación, las triangulaciones de tipo «Delaunay» se caracterizan por maximizar el ángulo mínimo interior de sus triángulos, y en consecuencia producen la triangulación de mejor calidad basada en tales puntos. Sin embargo, en caso de requerirse una mejor calidad, ésta puede mejorarse insertando nuevos puntos estratégicamente. En este contexto, los algoritmos tipo «Delaunay» de refinamiento de mallas juegan un rol de importancia ya que proveen métodos de mejoramiento de la calidad de una triangulación por medio de la inserción de puntos adicionales. Cada inserción se realiza mediante un proceso que mantiene la propiedad de «Delaunay» de la malla, e incrementan su calidad. Los distintos de algoritmos refinamiento tipo «Delaunay» presentan diferencias en cuanto a su desempeño y a la malla resultante. Ciertos algoritmos incorporan una etapa de «preprocesamiento», en la cual se prepara la malla para prevenir complicaciones durante el desempeño del resto del algoritmo. Adicionalmente, algunos se benefician de procesar los triángulos siguiendo un orden en particular. Omitir el preprocesamiento u ordenamiento en estos casos, altera el resultado obtenido. Es posible estudiar el comportamiento de los algoritmos al establecer comparaciones entre sus condiciones de procesamiento respecto a los resultados obtenidos. Existen programas computacionales que permiten la aplicación de un algoritmo de refinamiento sobre una malla y que como resultado presentan la malla mejorada y estadísticas respecto al desempeño del algoritmo durante la ejecución. Estas aplicaciones requieren ser ejecutadas una vez por cada refinamiento. Para el caso en que el número de algoritmos y/o mallas es considerable, lo anterior impone una dificultad. En particular cuando se busca establecer comparaciones relativas al comportamiento de los algoritmos, esta situación obliga al investigador a realizar un trabajo posterior de manejo de datos y visualización para los resultados obtenidos. Así, el tiempo de trabajo y esfuerzos adicionales, en casos de grandes volúmenes de pruebas y datos, pueden llegar a ser imprácticos fácilmente. En esta memoria se pretende elaborar una herramienta inteligente para comparar algoritmos de refinamiento tipo «Delaunay», realizar «tuning» de algunos algoritmos, proponer nuevos, etcétera, considerando diversas condiciones de procesamiento. Adicionalmente, se espera que la herramienta permita definir esquemas de ejecuciones de procesamiento, a través de los cuales sea posible analizar y obtener grandes cantidades de resultados de manera simple y práctica. Finalmente, la aplicación deberá generar «Reportes de Visualización de Resultados» en archivos «html», que incluyen cada detalle de la configuración y de los resultados, además de visualizaciones de gráficos para las tablas comparativas producidas. En las siguientes páginas se aborda en detalle el proceso de diseño e implementación de esta herramienta, cuyo desarrollo se ejecuta a partir de la elaboración de una biblioteca basada en la aplicación «Compare2DMesh», que fue producida en trabajos anteriores, la cual permite la ejecución individual y obtención de resultados de un refinamiento tipo «Delaunay» sobre una malla. Esta nueva biblioteca, llamada «C2M», supera a la aplicación original en múltiples aspectos. Además, se construye una nueva aplicación «BatchRefinement» que utiliza «C2M», y que provee una interfaz gráfica a través de la cual se proveen funcionalidades que satisfacen todos los requerimientos relacionado al trabajo con volúmenes de experimentos y generación de reportes con los análisis de los resultados. Estos reportes son creados en unos pocos segundos, de manera automática y flexible, y presentan información que habría tomado horas procesar sin esta herramienta. Las pruebas realizadas confirman la versatilidad de la aplicación, e indican una mejoría respecto a «Compare2DMesh» en muchos aspectos. A lo largo de este documento, se discuten temas relevantes y consideraciones relacionadas con la implementación actual y, en determinados casos, con los trabajos anteriores.