Problemas de control óptimo para la biorremediación de recursos acuíferos

Abstract

La tesis de compone de dos partes. En la primer parte estudiamos estrategias de tiempo mínimo para el tratamiento de la contaminación en recursos acuíferos de gran volumen, tales como lagos o reservas naturales, mediante el uso de un biorreactor continuo que opera en un estado cuasi-estacionario. El control consiste en la alimentación del biorreactor desde el recurso, con un efluente más limpio siendo devuelto al recurso con el mismo caudal. Eliminamos la hipótesis de homogeneidad en la concentración del contaminante en el recurso proponiendo tres modelos espacialmente estructurados. El primer modelo considera dos zonas conectadas entre ellas mediante difusión y donde sólo una de ellas es tratada por el biorreactor. Con la ayuda el Principio del Máximo de Pontryagin probamos que el control retroalimentado óptimo depende sólo de las mediciones del contaminante en la zona tratada, sin dependencia del volumen, de la difusión, o de la concentración del contaminante en la zona no tratada. Mostramos que el efecto de añadir una bomba de recirculación que ayuda a mezclar ambas zonas es benéfico si ésta se opera a su máxima velocidad. El segundo modelo consiste en dos zonas conectadas entre sí por difusión y cada una de ellas conectada al biorreactor. Este es un problema donde el conjunto de velocidades es no convexo y para el cual no es posible probar directamente la existencia de soluciones. Superamos esta dificultad y resolvemos completamente el problema estudiad aplicando el principio de Pontryagin al problema asociado con controles relajados, obteniendo un control retroalimentado que trata le zona más contaminada hasta la homogeneización de ambas zonas. También obtenemos cotas explícitas sobre la función valor mediante técnicas de Hamilton-Jacobi-Bellman. Probamos que la función de tiempo mínimo es no-monótona como función del parámetro de difusión. El tercer modelo consiste en un sistema de dos zonas conectadas al biorreactor en serie, y una bomba de recirculación entre ellas. El conjunto de controles depende de la variable de estado; mostramos que esta restricción es activa a partir de cierto instante de tiempo hasta el final del proceso. Este es un resultado no intuitivo. Simulaciones numéricas ilustran los resultados teóricos, y las estrategias obtenidas son testeadas en modelos hidrodinámicos, mostrando ser buenas aproximaciones de la solución del problema no homogéneo. La segunda parte consiste en el desarrollo y estudio de un modelo estocástico de biorreactor secuencial por lotes. Obtenemos el modelo como un límite de procesos de nacimiento y muerte. Establecemos la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación controlada que no satisface las hipótesis usuales. Probamos que para cualquier control, la probabilidad de extinción es positiva, resultado que no es clásico. Estudiamos el problema de la maximización de la probabilidad de llegar al nivel deseado de contaminación, con el reactor lleno, antes de la extinción. Este problema no satisface ninguna de las hipótesis usuales (dinámica no Lipschitz, coeficiente de difusión degenerado localmente Hölder, restricciones de espacio de estado, conjuntos objetivo y absorbente se intersectan), por lo que el problema debe ser estudiado en dos etapas: primero, probamos la continuidad de la función de costo sin control para condiciones iniciales con volumen máximo, y luego desarrollamos un principio de programación dinámica para una modificación del problema como un problema de control óptimo con costo final y sin restricciones de estado.