Geometría de sistemas de descenso: estudio asintótico mediante desingularización

Abstract

Los sistemas de tipo gradiente son relevantes como sistemas dinámicos en sí y además sirven como marco teórico para estudiar algoritmos de optimización, en particular algoritmos de descenso. Relacionado con este último aspecto, es natural preguntarse si las órbitas tienen longitud finita y convergen, cuando están en un conjunto acotado. El presente trabajo presenta respuestas a tales preguntas, bajo suposiciones especiales pero no restringidas en la práctica: se adoptará el marco de la geometría o-minimal que permite establecer resultados pertinentes sobre el comportamiento de las órbitas en torno a los puntos críticos. Como se verá a coninuación, una función suave f definible en una estructura o-minimal satisface la llamada desigualdad de Kurdyka-Lojasiewicz: en torno a cualquier valor crítico se acotan los gradientes de f inferiormente por una constante. Dicho resultado se adapta en el caso no suave (siempre gracias a las herramientas de la geometría o~-minimal) y se obtiene una cota análoga válida uniformemente para la norma de los subgradientes de f. A grandes rasgos el resultado de Kurdyka-Lojasiewicz consiste en encontrar una función auxiliar (la función desingularizante) estrictamente monótona y suave, de forma que por una parte el sistema gradiente (o bien subgradiente) inducido por la composición de dicha función con f tiene las mismas órbitas, y por otra parte los gradientes (o subgradientes) de dicha composición están acotados inferiormente por una constante. Este proceso es llamado desingularización de la función f, cuya potencia se aprecia explícitamente mediante la parametrización de las trayectorias a través de los niveles de la función f. Por último existe un resultado similar para multiaplicaciones definibles, donde se desingulariza la coderivada, en un sentido que se determinará más adelante. En este caso el sistema dinámico de estudio ya no es un sistema de tipo gradiente o subgradiente, sino que es un sweeping process. Se muestra que si dicho \textit{sweeping process} proviene de una función definible y continua, entonces mediante la desingularización de su coderivada se recuperan los resultados anteriores. En particular se pondrá en evidencia la relación entre la desingularización del sweeping process y la desingularización de la función f que lo define.