Tasa de convergencia de la velocidad asintótica de un sistema de partículas de tipo Brunet-Derrida

Abstract

En este trabajo se estudia un sistema de partículas cuya dinámica está determinada por mecanismos de ramificación y selección. Cada una de las $N\in \mathbb{N}$ partículas del sistema espera un tiempo exponencial de tasa $\tau > 0$ para generar un nuevo individuo posicionado, relativo al padre, según una medida de probabilidad $\mu$ en $\R$. Inmediatamente después de un evento de ramificación se elimina la partícula que está más a la izquierda dejando la cantidad de individuos constate. Si $\max x^N(t)$ es la posición de la partícula de más a la derecha a tiempo $t\geq 0$ entonces bajo ciertas hipótesis sobre $\mu$ se prueba que $\frac{\max x^N(t)}{t} \stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow} v_N $ c.s., donde $v_N$ es una constante determinista, y que $v_N\nearrow v < \infty$, donde $v$ es la velocidad de la partícula de más a la derecha del sistema anterior pero sin el mecanismo de selección. El resultado principal de esta tesis determina una cota para la velocidad de convergencia de $v_N$ a $v$. Específicamente se prueba que $\liminf_{N\to\infty }(v - v_N)(\log N)^2 \geq C$ donde $C$ es una constante explícita dependiente de la transformada de Laplace de $\mu$. Finalmente se estudia un sistema similar a tiempo discreto y se exploran extensiones para el caso en que entre tiempos de ramificación las partículas se mueven según un proceso de Lévy.