Extensiones de un teorema límite para un modelo basado en agentes

Abstract

En el presente trabajo se busca extender un resultado del tipo ley de grandes números para la medida empírica reescalada asociada a un modelo estocástico basado en agentes, previamente introducido en la literatura, a una clase de modelo más general. Específicamente la extensión considerada toma en cuenta dos nuevos mecanismos de evolución aparte de los ya considerados anteriormente. De esta forma los agentes, quienes están caracterizados por su tipo, aleatoriamente pueden interactuar, cambiar su tipo, morir y producir nuevos agentes. Se comienza construyendo el proceso de medida empírica a partir de su generador infinitesimal, lo cual permite obtener un proceso de Markov con saltos a valores en medidas. Posteriormente se obtienen algunas propiedades sobre él, en particular, se obtiene una representación trayectorial del proceso mediante medidas puntuales de Poisson. Esta representación trayectorial permite obtener una propiedad de martingala asociada, la cual nos entrega una idea sobre cómo luce cierto sistema de ecuaciones que debería satisfacer la medida límite. Una vez hecho esto se procede de acuerdo a un esquema clásico para probar este tipo de resultados. Se comienza probando que el sistema propuesto tiene una única solución, luego se muestra que la secuencia de leyes asociada a la secuencia de procesos de medidas empíricas reescaladas es una familia tensa de medidas, para posteriormente probar que cada punto límite de las leyes satisface el sistema. Como consecuencia, gracias a la unicidad de este último, se concluye la convergencia en distribución, al tomar límite en el reescalamiento, del proceso de medida empírica reescalada a un proceso determinista solución del sistema. Por último se muestran aplicaciones del resultado obtenido sobre tres modelos propuestos y se concluye discutiendo la posibilidad de tener un teorema central del límite para este tipo de modelo.