Inclusiones diferenciales con conos normales de conjuntos no regulares en espacios de Hilbert.

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio de inclusiones diferenciales con conos normales de conjuntos no regulares en espacios de Hilbert. En particular, nos interesa el proceso de arrastre y sus variantes. El proceso de arrastre es una inclusión diferencial restringida con conos normales que aparece naturalmente en varias aplicaciones tales como elastoplasticidad, histéresis, circuitos eléctricos, movimiento de multitudes, etc. Este trabajo está dividido conceptualmente en tres partes: Estudio de los conjuntos "alpha-far'', existencia de soluciones para las inclusiones diferenciales con conos normales y caracterizaciones de los pares de Lyapunov para el proceso de arrastre en espacios de Hilbert separable. En la primera parte (Capítulo 2), investigamos la clase de conjuntos positivamente "alpha-far''. Esta clase de conjuntos no regulares es muy general e incluye los conjuntos convexos, uniformemente prox-regulares y uniformemente sub-lisos, entre otros. Esta clase de conjuntos es la mejor adaptada al estudio de inclusiones diferenciales con conos normales. En la segunda parte (Capítulo 3 hasta la primera parte del Capítulo 8), se entregan varios resultados de existencia para el proceso de arrastre y sus variantes. Para ello, consideramos tres enfoques: el algoritmo de rectificación (Catching-up algorithm), el método de tipo Galerkin y la regularización de Moreau-Yosida. El primer método es el más clásico en el estudio de inclusiones diferenciales gobernadas por conos normales. Aquí es utilizado en el caso donde el conjunto considerado es fijo. El segundo método (de tipo Galerkin) consiste en aproximar el problema original proyectando el estado sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, pero no la velocidad. Los problemas aproximados siempre tienen una solución y, bajo ciertas condiciones de compacidad, se demuestra que ellos convergen fuertemente (salvo subsucesión) a una solución de la inclusión diferencial original. Más aún, se muestra que este método está bien adaptado para tratar inclusiones diferenciales con conos normales, proporcionando resultados generales de existencia para el proceso de arrastre generalizado. En consecuencia, se obtiene la existencia de soluciones para el proceso de arrastre de primer y segundo orden. Adicionalmente, este método es utilizado para mostrar la existencia de soluciones del proceso de arrastre con condiciones iniciales no locales. El tercer método es la técnica de regularización de Moreau-Yosida que consiste en aproximar una inclusión diferencial por una penalizada, en función de un parámetro positivo, para luego pasar al límite cuando el parámetro tiende a cero. Este método es utilizado para tratar el proceso de arrastre dependiente del estado gobernado por conjuntos uniformemente sub-lisos. Finalmente, en la tercera parte (segunda parte del Capítulo 8 y Capítulo 9), se proporcionan algunas caracterizaciones de los pares de Lyapunov débiles y la invariancia débil para el proceso de arrastre perturbado con conjuntos uniformemente sub-lisos.