Curvas autocontractantes y λ-curvas: Rectificabilidad y comportamiento asintótico

Abstract

Las curvas autocontractantes (ver definición \ref{autocontractante}) han sido extensamente estudiadas debido a su relación con sistemas dinámicos de tipo gradiente y sus aplicaciones tanto en algoritmos de optimización de tipo descenso (Convergencia del algoritmo Proximal), como de soluciones a encontrar curvas que sean perpendiculares a foliaciones convexas del espacio (ver \cite{daniilidis2010asymptotic}, \cite{daniilidis2015rectifiability}). También, de manera independiente, en la década del 90 los matemáticos Manselli y Pucci trabajaron en estudiar el largo de ciertas curvas, que a posteriori, corresponden exactamente a las curvas autocontractantes salvo porque estén revertidas en orientación y supuestas rectificables de antemano (ver \cite{manselli1991maximum}). La rectificabilidad en curvas irregulares resulta ser un problema complicado dado que no hay una caracterización de esta propiedad salvo hipótesis fuertes, como del estilo que sean diferenciables, o bien, que posean curvatura finita (ver \cite{GTIC}, Capítulo 5). Este trabajo está enfocado en extender lo más posible una técnica que prueba rectificabilidad (en un sentido que quedará claro en el capítulo 2), para el caso de las $\lambda$-curvas, que a saber, son curvas en un espacio métrico $\gamma:I\subseteq \R\to (X,d)$, tales que para $t_1,t_2,t_3\in I$, con $t_1<t_2<t_3$, satisfacen: \[d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))\leq d(\gamma(t_1),\jo(t_3))+\lambda d(\gamma(t_2),\gamma(t_3)).\] Se puede apreciar que una curva autocontractante con orientación invertida corresponde al caso $\lambda=0$, por lo tanto la clase de $\lambda$-curvas es más amplia y su estudio contiene lo anterior mencionado. También, se presentan propiedades geométricas de las $\lambda$-curvas y su estrecha relación con curvas autocontractantes definidas en espacios de Banach de dimensión infinita. En esta misma línea, se muestran 2 ejemplos para probar que las curvas autocontractantes definidas sobre espacios de Banach, contenidas en un compacto, no tienen por qué ser rectificables, ni si quiera localmente rectificables.