Un teorema tipo Banach-Stone para variedades de Finsler

Abstract

Uno de los resultados clásicos dentro de la teoría de espacios topológicos y funciones continuas es el Teorema de Banach-Stone, el cual relaciona la estructura topológica de un espacio compacto $X$ con la estructura de espacio vectorial normado del espacio de funciones continuas a valores reales $\left(C(X,\R),\|\cdot\|_\infty\right)$. A partir de este teorema surgieron diversos resultados en el mismo espíritu: caracterizar la estructura de un espacio a través de la estructura de un espacio de funciones adecuado. A estos resultados se les conoce como ``teoremas tipo Banach-Stone''. En 2017, J. Cabello y J.A. Jaramillo probaron un teorema tipo Banach-Stone para espacios cuasi-métricos completos, usando el espacio de funciones 1-semi-Lipschitz a valores reales $\mathrm{SLip_1}(X)$, el cual fue dotado de estructura de lattice convexo. Esta tesis se centra en estudiar la estructura de las variedades de Finsler, las cuales son una generalización de las variedades Riemannianas. Dichas variedades poseen una estructura cuasi-métrica íntimamente relacionada con su estructura de variedad diferenciable. Con el fin de estudiar estas variedades, basándonos en las ideas de J. Cabello y J.A. Jaramillo, definimos un subespacio de funciones suaves de $\mathrm{SLip_1}(X)$, denotado por $SC_1^1(X)$, el cual dotamos de estructura convexa y de orden parcial (lo cual es estrictamente más débil que una estructura de lattice). Usando teoremas de aproximación suave de funciones Lipschitz, y adaptándolos para funcionar en el contexto asimétrico, se logró suplir la falta de estructura de lattice del espacio $SC_1^1(X)$, obteniendo así un teorema tipo Banach-Stone para variedades de Finsler conexas y completas, similar al presentado en la publicación de Cabello y Jaramillo. La demostración del teorema principal de este trabajo puede adaptarse para funcionar en dos clases de espacios de Banach de dimensión infinita: espacios de Hilbert y espacios de Asplund separables cuyos espacios duales sean localmente uniformemente rotundos.