Application of geometry independent field approximation (GIFT) in the study of plate vibrations

Abstract

Los fenómenos físicos, presentes en las ciencias y en las diferentes áreas de la ingeniería, a menudo son modelados por Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). Los problemas de valor de frontera resultantes en muchos casos carecen de soluciones analíticas. Para resolver tales problemas, uno puede hacer suposiciones que simplifiquen el problema, o usar métodos numéricos para aproximar la solución. Dentro de los métodos numéricos actualmente existentes, el más popular es el Método de Elementos Finitos (FEM), que es la base de diferentes programas comerciales, como ADINA o ANSYS, entre muchos otros. La desventaja de este método es la gran cantidad de recursos computacionales y los tiempos de iteración requeridos para obtener una solución precisa del problema. Dada esta desventaja, Hughes desarrolló el Análisis IsoGeométrico (IGA). Este método permite integrar el modelo CAD con el Análisis de Elementos Finitos (FEA), por lo tanto, reduce los tiempos y los recursos necesarios para obtener una solución precisa. Pero a su vez, el IGA no tiene flexibilidad para obtener soluciones de ciertos problemas, ya que usa las mismas funciones bases para parametrizar tanto la geometría como el campo de solución. Debido a esto último, surge el Análisis IsoGeométrico Generalizado (GIFT) como una generalización del IGA, este método utiliza diferentes funciones bases para parametrizar la geometría del objeto y el campo de solución, permitiendo la selección de funciones que se adapten mejor al problema estudiado. En trabajos anteriores, el GIFT ha sido aplicado a problemas de la Ecuación de Laplace y de Elasticidad Lineal. El objetivo principal de este trabajo es estudiar el rendimiento del GIFT para problemas de flexión y de vibraciones de placas delgadas. El estudio consiste en implementar el GIFT para 3 placas diferentes y comparar los resultados numéricos con lo predicho por la Teoría de Placas de Kirchhoff-Love (KLPT). Se consideran una placa de geometría circular simple, una placa de geometría circular de dos parches y una placa cuadrada con un agujero de forma compleja, modelada por 8 parches. Las placas están parametrizadas por NURBS, mientras que las soluciones se aproximan por un parche usando NURBS o B-Splines. Los resultados se muestran en términos de curvas de convergencia, modos de vibración y frecuencias naturales.

Los resultados numéricos se comparan con las soluciones analíticas para problemas con geometría simple y con la solución FEM para el problema de una placa más compleja. El análisis realizado indica que, para la misma parametrización de geometría (uniforme), (a) la solución se puede aproximar mediante un parche NURBS o B-Splines, manteniendo inalterada la geometría original, (b) los resultados obtenidos con las aproximaciones de campo NURBS y B-Splines son idénticas, (c) la tasa de convergencia depende del grado de aproximación de la solución. Para parametrizaciones geométricas no uniformes, el método no produce una tasa de convergencia óptima o resultados suficientemente precisos, al igual que el IGA tradicional.