Source time reversal methods for acoustic and elastic waves

Abstract

Esta tesis estudia la detección y reconstrucción del término espacial de una fuente de variables separables en problemas de onda acústica y elástica. Para esto, estudiamos el método time-reversal mirror, el cual explota una invariancia intrínseca de la física a nivel microscópico que se observa también a nivel macroscópico en las ecuaciones de ondas. Esto significa que es posible recuperar la condición inicial de una ecuación de ondas homogénea revirtiendo la onda a través del tiempo. Para localizar y reconstruir el término espacial de la fuente, desarrollamos un método llamado source time reversal. La aplicación subyacente aquí es la detección de fuentes sísmicas en la minería. Es sabido que la actividad minera induce temblores dentro de las minas [50]. Esto se vuelve bastante peligroso si no se toman las precauciones adecuadas. Conocer sobre el origen de las actividades sísmicas puede ser utilizado para reducir el peligro de derrumbes y mejorar la seguridad dentro de las minas. Este trabajo se divide en tres capítulos; cada uno de ellos constituye un documento autocontenido para ser presentado como artículo. El primer capítulo aborda el problema de reconstrucción de fuente para ondas acústicas. Para esto introducimos el método source time reversal, la cual reconstruye el término espacial de una fuente de la forma f(x)g(t), donde f(x) entrega la forma y g(t) representa la distribución en tiempo de la fuente. Además, presentamos una estimación del error de la reconstrucción para el caso cuando f es una función de cuadrado integrable. Aquí, proponemos un método de regularización para implementar la reconstrucción de la fuente numéricamente. Adicionalmente, analizamos las principales características y limitaciones del método propuesto cuando se aplica a ondas acústicas. El capítulo dos estudia el problema de reconstrucción de fuente para ondas elásticas. Extendemos el método source time reversal para problemas elásticos. Además, introducimos un nuevo método de regularización para implementar la reconstrucción del término espacial de la fuente numéricamente para grandes volúmenes de datos. El nuevo método de regularización elimina las altas frecuencias presentes en la señal procesada, lo que permite utilizar mallas numéricas más gruesas y reduce el costo computacional. Finalmente, este capítulo presenta diversos experimentos numéricos para probar que el método es válido en el caso elástico. El último capítulo analiza un problema de reconstrucción de fuente diferente. Aquí consideramos una fuente compuesta por una suma finita de funciones de variable separable, donde cada término temporal de la fuente es una función delta de Dirac actuando a un tiempo diferente. Basado en una propiedad de tiempo reverso, la fuente puede ser localizada observando el desplazamiento y la velocidad de desplazamiento en el problema reverso [31]. Nosotros extendemos esta idea a sistemas de ondas elásticas. Adicionalmente, proponemos un algoritmo para la implementación numérica.