Sobre la geometría de los conjuntos compactos convexos

Abstract

El objetivo principal de este trabajo de tesis es el estudio de las propiedades de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos Hausdorff a partir de la estructura extremal de sus conjuntos compactos convexos. Se estudian los puntos afínmente expuestos, noción introducida por Bachir en su tesis de Habilitation a Diriger des Recherches (defendida en la Universidad Paris 1 en 2017, ver [3]), y los espacios que tienen la propiedad de los puntos afinmente expuestos (PAE). Se muestra que un espacio de Banach E es un espacio de Gâteaux-diferenciabilidad (GDS) si y solo si su dual topológico E* considerado con la topología w* tiene la PAE. En particular, si cada subconjunto w*-compacto convexo de E* es la envoltura convexa de sus puntos afínmente expuestos, entonces también es la envoltura convexa de sus puntos w*-expuestos. Por otro lado, algunos resultados que provienen de la teoría de Choquet y un estudio aprofundizado de A(K) (conjunto de las funciones afines continuas en un conjunto compacto convexo K) nos permiten caracterizar las funcionales de C(K) por sus valores en un subconjunto estricto de las funciones continuas afines por partes.