Puentes Brownianos no-intersectantes y la familia de matrices invariantes de Laguerre

Abstract

En este trabajo se estudia la distribución de la variable aleatoria correspondiente a la altura máxima alcanzada en el intervalo [0,p], para p ∈ (0,1), por la trayectoria de N puentes Brownianos en [0, 1] condicionados a no intersectarse. Para este fin, se introduce un proceso estacionario conocido como Movimiento Browniano de Dyson, el cual será de utilidad para encontrar la distribución mencionada por la estrecha relación que guarda con el modelo estudiado. El primer resultado corresponde a entregar una fórmula en forma de determinante de Fredholm sobre L2(R) para la altura máxima. Se estudian posteriormente los límites p → 1 y p → 0, y se prueba que el primero es consistente con los resultados ya conocidos para este modelo, mientras que para el otro se prueba que, modificando levemente el proceso, se obtiene una distribución no trivial, la cual se cree guarda relación con la teoría de matrices aleatorias, ya que además se prueba que esta distribución límite converge, bajo el reescalamiento adecuado, a la distribución límite del valor propio más grande de una matriz GUE: la distri- bución de Tracy-Widom 2. Es por esto, junto con el resultado para el caso p = 1 expuesto en [19] que relaciona el modelo con la familia del Laguerre Orthogonal Ensemble (un modelo de matrices simétrica reales cuya ley es invariante bajo conjugación por matrices ortogonales), que se conjetura que el modelo aquí expuesto en el caso p → 0 guarda relación con la familia de matrices invariantes de Laguerre para el caso complejo hermitiano: el Laguerre Unitary Ensemble. En la última parte se estudia el límite de la altura máxima reescalada cuando el número de puentes Brownianos tiende a infinito, y se prueba que la distribución resultante en el límite corresponde a la distribución marginal del proceso A2→1.