Sobre la conjetura de Lazer-McKenna en el caso no local con potencial superlineal bajo condición de simetría parcial en el dominio: Caso crítico y supercrítico

Abstract

En este trabajo de tesis se presenta un estudio sobre la veracidad de la conjetura no local de Lazer-Mckenna para un problema de tipo Ambrosetti-Prodi \begin{equation}\label{ProblemaPrincipal} \begin{cases} (-\Delta)^s = g(u)-\sigma\varphi_1 & \text{ en } \O\\ u=0 & \text{ en } \R^N\setminus \O, \end{cases}\end{equation} donde $\O$ es un subconjunto de $\R^N$ con frontera $C^1$, $s\in(0,1)$, $\varphi_1$ es la primera función propia del laplaciano fraccionario $(-\Delta)^s$ con condición de borde Dirichlet, $\sigma$ es un parámetro real que tiende a infinito y $g(u)=|u|^p$, con $p\in(1,\frac{N-m+1+2s}{N-m+1-2s})$ para $m\in \N$ a definir más adelante y es super-crítico con respecto a $N$. Además $\O$ cumple una condición de simetría parcial que será expuesta más adelante. Más en concreto, la conjetura de Lazer-McKenna predice la existencia de un número no acotado de soluciones a medida que $\sigma$ crece a infinito. A pesar de que la conjetura fue planteada en 1981, solo hasta inicios del siglo XXI se produjeron resultados con la identificación del caso $N$-dimensional y subcrítico como un problema de límites singulares. Este trabajo prueba la veracidad de la conjetura para \eqref{ProblemaPrincipal}. Se probó en este trabajo la existencia de una familia de soluciones indexada por un parámetro natural que presentan concentración en una esfera $m-1$ dimensional cerca de máximos locales de $\varphi_1$. A fin de lograr este propuesto se usó el método Lyapunov-Schmidt, el cual consiste en buscar soluciones de la forma $U+v$, donde $U$ es una función escogida adecuadamente para lograr las propiedades buscadas. Más en concreto $U$ resulta ser una solución fundamental de \eqref{ProblemaPrincipal} para el cual se conocen además su comportamiento asintótico. $v$ por otro lado es un termino de corrección que por lo general se espera que tienda a cero cuando $s$ crece al infinito. Esto va muy en concordancia con los trabajos de Dancer y Yan en \cite{DY,DY2,DY-Supercritico} y los de Abdellaoui, Dieb y Mahmoudi en \cite{Mahmoudi-Boumediene-Dieb}.