Modelación matemática y optimización para producción de Biogás

Abstract

La digesti´on anaer´obica es un proceso biol´ogico en el cual diferentes poblaciones microbianas transforman compuestos org´anicos en biog´as (di´oxido de carbono y metano), el cual puede ser luego utilizado como fuente de energ´ıa renovable. Esta tesis analiza distintas estrategias de control y dise˜no de bio-reactores que maximicen la producci´on de biog´as. La primera parte se enfoca en el problema de control ´optimo para maximizar la producci´on de biog´as en un bioreactor continuo o Quimiostato. Se considera el modelo de una reacci´on y la tasa de diluci´on es la variable de control. Para el problema con un horizonte finito, se estudia controles retroalimentados (o tipo feedback), similares a los utilizados en la pr´actica, y que consisten en llevar el reactor hacia un nivel de sustrato determinado y mantenerlo all´ı. Nuestro enfoque se basa en establecer l´ımites de la funci´on valor considerando diferentes funciones de costo para las cuales la soluci´on ´optima admite una forma expl´ıcita, del tipo feedback, independiente del tiempo. En particular, esta t´ecnica proporciona l´ımites expl´ıcitos para la sub-optimalidad de los controles estudiados para una amplia clase de funciones de crecimiento dependientes de sustratos y biomasa. A continuaci´on, consideramos el problema con horizonte infinito, tanto para un costo promedio como para uno descontado. Cuando la tasa de descuento tiende a cero, probamos que la funci´on valor del problema descontado converge y que el l´ımite es igual a la funci´on valor para el costo promedio. Luego, se muestra que los controles ´optimos para el problema con costo promedio son los que llevan al sistema a un estado que maximiza el flujo de biog´as en un conjunto invariante. Posteriormente, volvemos al problema con horizonte finito dado y, usando el Principio M´aximo de Pontryagin, demostramos que el control ´optimo tiene una estructura bang - arco singular y somos capaces de construir una familia de controles parametrizadas por el valor constante del Hamiltoniano. Usando la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi-Bellman, el control ´optimo se identifica como el asociado con el valor del Hamiltoniano que satisface una ecuaci´on de punto fijo. A continuaci´on, se propone un algoritmo para determinar el control ´optimo mediante la resoluci´on de esta ecuaci´on de punto fijo. En la segunda parte se estudia el impacto de la heterogeneidad del medio en la producci´on de biog´as. Este bioreactor se divide en tres secciones, siendo s´olo la intermedia la que contiene biomasa. En dicha secci´on, el modelo matem´atico propuesta da cuenta de la geometr´ıa del reactor y reduce la dimensi´on espacial a una sola. Por otro lado, en las otras secciones, las ecuaciones 3D de Navier-Stokes son utilizadas para modelar la din´amica de fluidos. Para representar la actividad biol´ogica se utiliza un modelo de dos reacciones y para los sustratos se utilizan ecuaciones de advecci´on-difusi´on-reacci´on. Como ya establecido, s´olo consideramos la biomasa que est´a fijada en la secci´on intermedia y modelamos su crecimiento con una funci´on densidad dependiente. Hemos demostrado que nuestro modelo para este bioreactor reproduce adecuadamente el gradiente espacial de datos experimentales y proporciona una mejor comprensi´on de la din´amica interna del reactor. En particular, las simulaciones num´ericas indican que al mezclar menos, el reactor es m´as eficiente y produce m´as biog´as.

Anaerobic digestion is a biological process in which organic compounds are degraded by different microbial populations into biogas (carbon dioxyde and methane), which can be used as a renewable energy source. This thesis works towards developing control strategies and bioreactor designs that maximize biogas production. The first part focuses on the optimal control problem of maximizing biogas production in a chemostat in several directions. We consider the single reaction model and the dilution rate is the controlled variable. For the finite horizon problem, we study feedback controllers similar to those used in practice and consisting in driving the reactor towards a given substrate level and maintaining it there. Our approach relies on establishing bounds of the unknown value function by considering different rewards for which the optimal solution has an explicit optimal feedback that is timeindependent. In particular, this technique provides explicit bounds on the sub-optimality of the studied controllers for a broad class of substrate and biomass dependent growth rate functions. With numerical simulations, we show that the choice of the best feedback depends on the time horizon and initial condition. Next, we consider the problem over an infinite horizon, for averaged and discounted rewards. We show that, when the discount rate goes to 0, the value function of the discounted problem converges and that the limit is equal to the value function for the averaged reward. We identify a set of optimal solutions for averaged problems as the controls that drive the system towards a state that maximizes the biogas flow rate on an special invariant set. We then return to the problem over a fixed finite horizon and with the Pontryagin Maximum Principle, we show that the optimal control has a bang singular arc structure. We construct a one parameter family of extremal controls that depend on the constant value of the Hamiltonian. Using the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, we identify the optimal control as the extremal associated with the value of the Hamiltonian which satisfies a fixed point equation. We then propose a numerical algorithm to compute the optimal control by solving this fixed point equation. We illustrate this method with the two major types of growth functions of Monod and Haldane. In the second part, we investigate the impact of mixing the reacting medium on biogas production. For this we introduce a model of a pilot scale upflow fixed bed bioreactor that offers a representation of spatial features. This model takes advantage of reactor geometry to reduce the spatial dimension of the section containing the fixed bed and in other sections, we consider the 3D steady-state Navier-Stokes equations for the fluid dynamics. To represent the biological activity, we use a 2 step model and for the substrates, advection-diffusion-reaction equations. We only consider the biomasses that are attached in the fixed bed section and we model their growth with a density dependent function. We show that this model can reproduce the spatial gradient of experimental data and helps to better understand the internal dynamics of the reactor. In particular, numerical simulations indicate that with less mixing, the reactor is more efficient, removing more organic matter and producing more biogas.

La digestion ana´erobique est un processus biologique au cours duquel des micro-organismes d´ecomposent de la mati`ere organique pour produire du biogaz (dioxyde de carbone et methane) qui peut ˆetre utilis´e comme source d’´energie renouvelable. Cette th`ese porte sur l’´elaboration de strat´egies de contrˆole et la conception de bior´eacteurs qui maximisent la production de biogaz. La premi`ere partie se concentre sur le probl`eme de contrˆole optimal de la maximisation de la production de biogaz dans un chemostat avec un mod`ele `a une r´eaction, en contrˆolant le taux de dilution. Pour le probl`eme `a horizon fini, nous ´etudions des commandes type feedback, similaires `a ceux utilis´es en pratique et consistant `a conduire le r´eacteur vers un niveau de substrat donn´e et `a le maintenir `a ce niveau. Notre approche repose sur une estimation de la fonction valeur inconnue en consid´erant diff´erentes fonctions de coˆut pour lesquelles la solution optimale admet un feedback optimal explicite et autonome. En particulier, cette technique fournit une estimation de la sous-optimalit´e des r´egulateurs ´etudi´es pour une large classe de fonctions de croissance d´ependant du substrat et de la biomasse. A l’aide ` de simulations num´eriques, on montre que le choix du meilleur feedback d´epend de l’horizon de temps et de la condition initiale. Ensuite, nous examinons le probl`eme sur un horizon infini, pour les coˆuts moyen et actualis´e. On montre que lorsque le taux d’actualisation tends vers `a 0, la fonction valeur du probl`eme actualis´e converge vers la fonction valeur pour le coˆut moyen. On identifie un ensemble de solutions optimales pour le probl`eme avec coˆut moyen comme ´etant les contrˆoles qui conduisent le syst`eme vers un ´etat qui maximise le d´ebit de biogaz sur un ensemble invariant. Nous revenons ensuite au probl`eme `a horizon fini fixe et avec le Principe du Maximum de Pontryagin, on montre que le contrˆole optimal a une structure bang arc singulier. On construit une famille de contrˆoles extr´emaux qui d´ependent de la valeur constante du Hamiltonien. En utilisant l’´equation de Hamilton-Jacobi-Bellman, on identifie le contrˆole optimal comme ´etant celui associ´e `a la valeur du Hamiltonien qui satisfait une ´equation de point fixe. On propose ensuite un algorithme pour calculer la commande optimale en r´esolvant cette ´equation de point fixe. On illustre enfin cette m´ethode avec les deux principales types de fonctions de croissance de Monod et Haldane. Dans la deuxi`eme partie, on mod´elise et on ´etudie l’impact de l’h´et´erog´en´eit´e du milieu r´eactionnel sur la production de biogaz. Pour cela, on introduit un mod`ele de bior´eacteur pilote qui d´ecrit les caract´eristiques spatiales. Ce mod`ele tire parti de la g´eom´etrie du r´eacteur pour r´eduire la dimension spatiale de la section contenant un lit fixe et, dans les autres sections, on consid`ere les ´equations 3D de Navier-Stokes en r´egime permanent pour la dynamique des fluides. Pour repr´esenter l’activit´e biologique, on utilise un mod`ele `a deux r´eactions et pour les substrats, des ´equations advection-diffusion-r´eaction. On consid`ere seulement les biomasses qui sont attach´ees au lit fixe et on mod´elise leur croissance avec une fonction densit´e d´ependante. On montre que ce mod`ele peut reproduire le gradient spatial de donn´ees exp´erimentales et permet de mieux comprendre la dynamique interne du r´eacteur. En particulier, les simulations num´eriques indiquent qu’en m´elangant moins, le r´eacteur est plus efficace, ´elimine plus de mati`eres organiques et produit plus de biogaz.