Non-smooth and variational analysis of optimization problems and multi-leader-follower games

Abstract

La presente tesis se enmarca en la teoría de la optimización no suave y trata con problemas de la teoría de juegos. La tesis está dividida en cuatro partes, de las cuales en la primera se presenta la introducción, la notación y algunos resultados preliminares. En la segunda parte se discute sobre reglas de cálculo subdiferencial en espacios generales y se dan fórmulas nuevas tanto en el caso convexo como no convexo. El enfoque consiste en dar reglas de cálculo o de optimalidad aproximadas evitando así la necesidad de condiciones de cali cación. En la tercera parte se discute sobre los juegos Multi-Leader-Follower. Se prueba un resultado de existencia de equilibrios en el caso de un solo leader optimista y se extienden resultados respecto a la relación del problema original con la reformulación obtenida de reemplazar el nivel inferior por la concatenación de sus condiciones tipo KKT. Por último, en la cuarta parte se estudian los problemas de quasi-equilibrio, los cuales permiten estudiar la existencia de soluciones de problemas de equilibrio de Nash y desigualdades quasi-variacionales de manera abstracta. Se prueban nuevos resultados de existencia que relajan algunas de las hipótesis estándares.

This thesis is within the framework of optimization and deals with non-smooth optimization and with some problems of game theory. It is divided into four parts. In the rst introductory part, give the context and some preliminary results. In the second part we discuss about subdi erential calculus rules in general spaces providing of some improved formulas in both the convex and the non-convex cases. Here the focus is on approximate or fuzzy calculus rules and optimality conditions, for which no quali cation conditions are required. In the third part, we discuss about the so-called Multi-Leader-Follower Games. We give an existence result for the case of a single optimistic leader and multiple followers, and extend some results concerning the relation between the original problem with the reformulation obtained by replacing the followers' problem by the concatenation of their KKT conditions. Finally, in the fourth part we study quasi-equilibrium problems which are a general formulation for studying Nash equilibrium problems and quasi-variational inequalities. We provide some new existence results that relax some of the standard hypotheses. Résumé

Cette thèse, dont le cadre général est l'optimisation, traite de problèmes d'optimisation nonlisse et de problèmes de théorie des jeux. Elle est constituée de quatre parties. Dans la première, nous présentons le contexte et l'introduction. Dans la deuxième partie, nous discutons quelques règles de calcul sous-di érentiel dans des espaces généraux, et présentons notamment certaines formules plus fortes que l'état de l'art, autant dans le cas convexe que dans le cas non convexe. L'accent est mis sur les règles de calcul et conditions d'optimalité approchées et "fuzzy", pour lesquelles aucune condition de quali cation n'est requise. Dans la troisième partie, nous considérons des jeux bi-niveaux à plusieurs meneurs et plusieurs suiveurs. Après quelques résultats d'existence dans le cas d'un seul meneur optimiste et dans le cas de plusieurs meneurs, nous étendons des résultats existants concernant la relation entre le problème bi-niveau original et sa reformulation obtenue grâce au remplacement des probl èmes des suiveurs par la concaténation de leurs conditions d'optimalité (KKT). Finalement, dans la quatrième partie, nous abordons quelques problèmes de quasi-équilibres, qui sont une généralisation des problèmes d'équilibre de Nash et des inégalités quasi-variationnelles. Nous prouvons ainsi de nouveaux résultats d'existence qui permettent de relâcher les hypothèses standard.