Propiedad de martingala, volatilidad estocástica y burbujas financieras

Abstract

El presente trabajo tiene como objetivo principal analizar cómo se comporta la propiedad de martingala de una componente de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas acopladas y correlacionadas. Este sistema viene dado por el interés de los matemáticos financieros en identificar cuándo un proceso estocástico particular que modela un proceso de precio presenta un fenómeno conocido como una burbuja financiera. Cuando el valor de mercado de un activo es mayor que el valor real de dicho activo, es decir cuando existe una percepción de que un activo tiene más valor que el que debiese tener, se dice que dicho activo presenta una burbuja financiera. Existen varios ejemplos en la historia, siendo el más común y presente hoy la crisis subprime de 2008. La presencia de una burbuja financiera en un activo se puede identificar estudiando la propiedad de martingala del proceso de precio de dicho activo. Si este proceso es una martingala real, no existe burbuja, mientras que si es lo que se llama una martingala local estricta, entonces sí existe una burbuja. En la introducción de este trabajo, se presenta formalmente la definición de burbuja financiera, junto con todos los fundamentos matemáticos necesarios para sustentar dicha definición. Además, se introduce el modelo particular que se analiza en el resto del trabajo, un modelo de volatilidad estocástica, donde la volatilidad del proceso de precio se rige por su propia ecuación diferencial estocástica. Dicha ecuación tiene una componente de drift de potencia ponderada, mientras que su volatilidad es de una potencia. El proceso de precio se define luego como la martingala exponencial de una potencia positiva de la volatilidad, con respecto a un movimiento browniano correlacionado con el subyacente a la volatilidad. El capítulo 1 presenta los resultados más avanzados de la teoría del cálculo estocástico que son necesarios para llevar a cabo el análisis del sistema: el teorema de Girsanov y el test de explosión de Feller. En el capítulo 2 se discute la validez de la ecuación de volatilidad como modelo, restringiendo el valor de sus parámetros a los casos de interés, los no-explosivos. Los resultados principales sobre la propiedad de martingala del proceso de precio están en el capítulo 3, sujetos siempre al marco del modelo encontrado en el capítulo anterior. Finalmente, la conclusión resume los resultados principales del trabajo, y presenta un análisis breve de tanto la completitud de la caracterización encontrada como de sus limitaciones. Más aun, presenta una generalización al caso de drift polinomial en la volatilidad, junto con las consecuencias que esto conlleva para el caso de una potencia negativa en el proceso de precio. También se plantean nuevos posibles problemas dentro del mismo modelo, y que pueden inspirar trabajos en el futuro.