Theoretical foundations uncertain event prognosis and predictive Bayesian Cramér-Rao bounds

Abstract

La confiabilidad y la continuidad operativa de los sistemas se han vuelto cada vez más importantes en la medida en que el progreso tecnológico se traduce en productos que van paulatinamente siendo incorporados y estandarizados en la sociedad. Algunos ejemplos típicos que se pueden nombrar son el uso de satélites para comunicaciones y ubicación, dispositivos de ingeniería biomédica como resonancia magnética, computadoras, maquinaria para procesos de manufactura como tornos o fresadoras, vehículos, defensa, entre otros. Por la presente, se revisan los fundamentos probabilísticos del problema del pronóstico de fallas, presentando críticas constructivas ante las inconsistencias encontradas en las estrategias que han seguido muchos investigadores. Además, se desarrolla una formalización teóricamente rigurosa, presentando así nuevas distribuciones de probabilidad semi-cerradas para el primer tiempo de ocurrencia de cualquier tipo de evento (no necesariamente una falla) en sistemas dinámicos de tiempo discreto y continuo. También se introduce un nuevo concepto de "evento incierto", que generaliza el enfoque típico de cruce de umbral para declarar la ocurrencia de eventos. Esta generalización permite incertidumbre en la definición de eventos, haciéndolos inciertos. Estos nuevos conceptos se ilustran a través de un caso de estudio de pronóstico de crecimiento de fracturas por fatiga. Debido a la falta de formalismo matemático con respecto al problema del pronóstico de fallas, se desarrollaron métodos heurísticos para evaluar la calidad de los resultados. En este sentido, otras dos contribuciones presentadas por el presente apuntan a abordar este problema de una manera más formal, usando Bayesian Cramér-Rao Lower Bounds (BCRLBs) para la Error Covariance Matrix (ECM) de estimaciones predictivas. Ambas contribuciones se ilustran a la luz del problema del pronóstico de tiempo End-of-Discharge (EoD) de baterías de Ion-Litio. Dentro del problema de pronóstico, la incertidumbre de los estados del sistema se propaga en el tiempo, produciendo distribuciones de probabilidad que terminan caracterizando el primer tiempo de ocurrencia de eventos futuros. Por lo tanto, hay nuevas BCRLBs asociadas con el ECM de estados futuros del sistema (en cada instante de tiempo futuro), así como con el Mean Squared Error (MSE) del primer tiempo de ocurrencia de eventos futuros (el concepto de ECM reduce MSE en una dimensión). Las primeras (relacionadas con futuros estados del sistema) se utilizan para proponer una metodología de diseño paso-a-paso para ajustar los hiper-parámetros de algoritmos de pronóstico, lo que permite garantizar que los resultados no violen límites fundamentales de precisión. Sin embargo, las últimas (relacionadas con la primera ocurrencia de eventos futuros) se presentan y analizan en términos de uso potencial en el análisis y diseño de algoritmos de pronósticos.