Distributional and asymptotic results of chain maxima from independent random vectors

Abstract

Esta tesis tiene como objetivo principal el estudio de la sucesión (M n), de los llamados chain-maxima (máximos en cadena), bajo la hipótesis de observaciones independientes e idénticamente distribuidas (iid), con valores en R d . Se trata de un nuevo tipo de máximo multidimensional, que se define recursivamente, a partir de un orden parcial en R d . Los chain-maxima son usados como base para definir otros procesos como los chain-records (R n ), los cuales han sido previamente estudiados en [25] y [41]. Este trabajo se divide en tres partes. En la primera se dan las definiciones de los procesos de chain-maxima, chain-records y variables asociadas, para los cuales se obtienen resultados estructurales y asintóticos, en el marco general de datos iid. En la segunda y tercera parte se estudian, respectivamente, dos modelos particulares, a saber el de observaciones iid uni- formes en [0, 1] d y el de observaciones iid uniformes en el simplex d-dimensional ∆ d . En el Capítulo 1 se presentan brevemente temas clásicos de récords unidimensionales así como una introducción a los récords multidimensionales, seguida de una discusión de la bibliografía. En el Capítulo 2 se dan las definiciones básicas y un estudio general de propiedades de los chain- maxima y chain-records, bajo supuestos probabilísticos razonables. Se exponen propiedades de la estructura Markoviana y resultados asintóticos, que pueden ser vistos como extensiones naturales aunque no triviales, de resultados unidimensionales similares, obtenidos en [40, 52, 53]. Asimismo, se presentan y se exploran brevemente las ideas de chain-maxima y chain-records asociados a órdenes estrictos y órdenes de conos. En el Capítulo 3 se estudia el modelo con datos iid uniformes en [0, 1] d y, entre otros, se derivan resultados para el proceso (R n ): independencia de sus componentes, probabilidades de transición, densidades marginales, representación como solución de una equación de diferencias, etc. Asimismo, se realiza un estudio exacto y asintótico de los record-heights H n (probabilidad condicional de un chain-record). Mediante el uso de técnicas de análisis de polos, de Flajolet y Sedgewick [22], se obtiene una descripción fina de los momentos E(H n k ), así como de los momentos cruza- dos. Finalmente, con dichos resultados se establecen convergencias para los record-heights y para el proceso de conteo de chain-records. En el Capítulo 4 se considera el modelo uniforme en el d-simplex ∆ d y se estudian resultados similares a los del Capítulo 3, teniendo presente la dificultad adicional que implica la dependencia entre las componentes de las observaciones. En particular, el análisis de singularidades presenta una complejidad muy superior al del caso [0, 1] d . Además se destaca el estudio asintótico de (R n ), mediante una representación como perpetuidad y la caracterización de la ley límite como probabilidad estacionaria de una cadena de Markov. Finalmente el Capítulo 5 trata temas en desarrollo, con avances parciales, especialmente enfocados en la convergencia en distribución de (M n ), tema de in- esperada complejidad. Este problema se ha relacionado con los números de Delannoy, y con un modelo de tiempo continuo, denominado board-breaking .