Quasi-stationary distributions and resilience: What to get from a sample

Abstract

We study a class of multi-species birth-and-death processes going almost surely to extinction and admitting a unique quasi-stationary distribution (qsd for short). When rescaled by K and in the limit K ! +1, the realizations of such processes get close, in any fixed finite-time window, to the trajectories of a dynamical system whose vector field is defined by the birth and death rates. Assuming this dynamical system has a unique attracting fixed point, we analyzed the behavior of these processes for finite K and finite times, “interpolating" between the two limiting regimes just mentioned. In the present work, we are mainly interested in the following question: Observing a realization of the process, can we determine the so-called engineering resilience? To answer this question, we establish two relations which intermingle the resilience, which is a macroscopic quantity defined for the dynamical system, and the fluctuations of the process, which are microscopic quantities. Analogous relations are well known in nonequilibrium statistical mechanics. To exploit these relations, we need to introduce several estimators which we control for times between logK (time scale to converge to the qsd) and exp(K) (time scale of mean time to extinction).

(Distributions quasi-stationnaires et résilience : que peut-on obtenir des données ?) Nous étudions une classe de processus de naissance et mort avec plusieurs espèces dans la situation où l’extinction est certaine et la distribution quasi-stationnaire est unique. Si on fixe un intervalle de temps fini et qu’on normalise les réalisations d’un tel processus par un paramètre d’échelle K, elles deviennent arbitrairement proches, dans la limite K ! +1, des trajectoires d’un certain système dynamique dont le champ de vecteurs est défini à partir des taux de naissance et mort. Quand le système dynamique admet un seul point fixe attractif, nous avons précédemment analysé le comportement du processus pour des valeurs de K finies et pour des temps finis, c’est-à-dire le comportement intermédiaire entre les deux comportements limites évoqués ci-dessus. La question principale qui nous intéresse est la suivante : si on observe une réalisation du processus, pouvons-nous estimer la résilience au sens de l’ingénieur (engineering resilience) ? Pour répondre à cette question, nous démontrons deux relations entremêlant la résilience, qui est une quantité macroscopique définie pour le système dynamique sous-jacent, et les fluctuations du processus, qui sont, elles, des quantités microscopiques. De tels genres de relations sont bien connus en mécanique statistique hors d’équilibre. Afin d’exploiter ces relations nous introduisons plusieurs estimateurs empiriques que nous parvenons à contrôler pour des temps entre logK, qui est l’échelle de temps pour observer la convergence vers la distribution quasi-stationnaire, et exp(K), qui est l’échelle du temps moyen d’extinction.