Applications of the integration of essentially bounded functions and classification of asymmetric spaces

Abstract

Este trabajo corresponde a una Tesis Doctoral para la obtención del grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, mención Modelación Matemática. El presente trabajo está inscrito en la vasta área del Análisis Variacional y Funcional, y exhibe una síntesis de los resultados disponibles en los artículos publicados "Linear Structure of Functions with Maximal Clarke Subdifferential" \cite{DF} y "Index of symmetry and topological classification of asymmetric normed spaces" \cite{BF}, junto al preprint ArXiv "On an identification of the Lipschitz-free spaces over subsets of $\mathbb{R}^{n}$" \cite{F2017}. \noindent El presente documento está dividido en dos partes. La Parte I trata principalmente con funciones Lipschitz y se centra en el estudio de propiedades estructurales de los espacios de funciones Lipschitz definidas sobre un subconjunto no vacío, abierto y convexo de un espacio de dimensión finita. En el Capítulo 1 se muestra que el espacio vectorial de las funciones Lipschitz que se anulan en un punto predeterminado del dominio anterior, dotado de la norma Lipschitz, es isométrico a un subespacio específico de funciones esencialmente acotadas con valores en el dual del dominio de las funciones Lipschitz. La propiedad que define dicho subespacio recuerda a la condición de Poincaré clásica, asegurando la integrabilidad de un campo vectorial. El Capítulo 2 trata con el concepto de espacio Lipschitz-libre y la isometría mencionada anteriormente es usada para mostrar que el espacio Lipschitz-libre en el mismo contexto es isométrico a un cuociente específico de las funciones integrables con valores en el dominio de las funciones Lipschitz. El subespacio cerrado que define este cuociente está formado por aquellas funciones integrables cuya divergencia no suave es igual a cero, mostrando una conexión de estos dos capítulos con una especie de Cálculo Multivariado no suave. En el Capítulo 3 se continúa tratando con funciones Lipschitz, pero en este caso el estudio se centra en las propiedades del subdiferencial de Clarke y los conceptos de lineabilidad y espaciabilidad. Más específicamente, se muestra que el conjunto de funciones Lipschitz (definidas sobre el mismo tipo de dominio que antes) cuyo subdiferencial de Clarke es maximal en todo punto (en el sentido que es tan grande como es posible) de hecho contiene una copia de $\ell^{\infty}$, mostrando que este conjunto es "algebráicamente grande". \noindent Motivado por el desarrollo reciente de estructuras asimétricas y la existencia de isometrías canónicas de espacio quasimétricos en espacios normados asimétricos, en la Parte II se analiza el concepto de espacios normados asimétricos y se entregan nociones análogas para su contraparte métrica, los espacios quasimétricos. En el Capítulo 4, se busca una forma de clasificar espacios normados asimétricos en términos del grado de asimetría de sus normas. Para ello se introduce la noción de índice de simetría, la cual resume en un número entre cero y uno que tan simétrica es la norma. En términos de dicho índice se muestra que cada vez que éste es positivo, la norma es suficientemente simétrica, es decir, la topología del espacio puede ser obtenida por una norma clásica. Esto muestra que los casos de mayor importancia son aquellos donde el índice de simetría es igual a cero. Así, existen dos tipos de espacios, donde la principal diferencia entre ellos es el grado de separación de sus topologías. Esto a su vez cambia completamente la estructura de los espacios duales. Esta clasificación es particularmente interesante en espacios de dimensión infinita, donde varios espacios definidos de manera natural tienen índice de simetría igual a cero, pero sus topologías pueden o no ser Hausdorff, en contraste con el caso de dimensión finita, donde un índice de simetría igual a cero sólo es posible cuando la topología no es Hausdorff (de hecho, ni siquiera $T_{1}$).