Estudio de problemas de diseño óptimo por el método de regularidad en ecuaciones no lineales

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio de un problema de diseño óptimo, el cual corresponde ala maximización de la energía interna para la solución de una ecuación del tipo p-Laplacianopara un material con dos fases. La variable de control es la región a ser rellenada por unacantidad restringida de material. En general este tipo de problemas no tiene un única solucióny por lo tanto es necesario trabajar con una formulación relajada. En este caso la soluciónrelajada es obtenida utilizando teoría de homogeneización.Mediante el método de relajación por homogeneización se obtiene un problema relajado,el cual a su vez permite obtener algunos resultados de suavidad. Este es, se demuestra queel flujo asociado al problema, está en el espacioH1(Ω)Ny que la proporción óptima demateriales es derivable en las direcciones ortogonales al flujo para las soluciones del problemarelajado. Esto permite probar el problema no relajado no tiene solución cuandof= 1y eldominio es suave, acotado y simplemente conexo.Para la formulación relajada se desarrolan dos algoritmos, uno de direcciones factiblesy otro de optimización alternada. Se demuestra la convergencia y se obtienen estimacionespara del error en ambos casos. Cuandop >2ambos métodos solo están bien definidos parauna aproximación finito dimensional del problema. Aunque las estimaciones del error paraambos métodos son similares, a través de experimentos numéricos se aprecia que el métodode optimización alternada funciona mejor que el de direcciones factibles.También se estudia el problema de minimizar el primer valor propio del p-Laplaciano paraun material con dos fases. Se demuestra que existe una relación entre este problema y elde la maximización de la energía. A través de esta relación se obtiene una relajación delproblema y se prueban algunos resultados de suavidad para las soluciones de este problema.Como consecuencia se demuestra que siΩes de clase C1,1, simplemente conexo y con bordeconexo, entonces el problema no relajado tiene un solución si y solo siΩes una bola. Sedesarrolla además un algoritmo para aproximar las soluciones del problema relajado y serealizan algunas simulaciones numéricas con este algoritmo.