On discrete carleman estimates: applications to controllability, stability and inverse problems

Abstract

El objetivo central de esta tesis es el estudio de sistemas discretos y semi-discretos de Ecuaciones en Derivadas Parciales, mediante el método de diferencias finitas, para entender de mejor forma algunos problemas de controlabilidad, estabilidad y problemas inversos en el caso discreto. Con este objetivo, nos centramos en analizar las condiciones necesarias para asegurar que los resultados del caso continuo sigan siendo válidas en su respectiva discretización, ya que el enfoque habitual basado en la discretización de un sistema controlado o un problema inverso, vía diferencias finitas, no necesariamente hereda las propiedades del caso continuo. En el Capítulo 1 hacemos una breve introducción a los diferentes temas de esta tesis. En el primer caso consideramos un problema de continuación única en el entorno del esquema de diferencias finitas. Luego, discutimos la formulación de controlabilidad para una aproximación semi-discreta de un sistema controlado parabólico. Finalmente, relacionado con la continuación única discreta, planteamos el problema inverso discreto de Calderón para datos parciales. El cálculo discreto para mallas uniformes se discute en el Capítulo 2. Introducimos la notación de mallas discretas y semi-discretas. Así, establecemos el operador discreto que nos permite aproximar el operador diferencial parcial considerado en los próximos capítulos. Para los operadores discreto de diferencia y promedio, probamos una fórmula discreta de integración por partes. Finalmente, establecemos una estimación fundamental para varias aplicaciones de los operadores discreto sobre la función de peso de Carleman. Estos resultados se basan en nuestros trabajos [14, 37]. En el Capítulo 3 nos centramos en la estimación de la estabilidad para la ecuación semi-discreta linealizada de Benjamin-Bona-Mahony (BBM), que se basa en [37]. En primer lugar, estudiamos el caso continuo. Obtenemos una estimación de estabilidad para la ecuación continua linealizada de BBM, a través de la estimación de Carleman para el operador Laplaciano, que implica una propiedad de continuación única para esta ecuación linealizada. A continuación, siguiendo la estrategia del caso continuo, demostramos una estimación discreta de Carleman para una aproximación por diferencia finita del operador Laplaciano con observación en la frontera. De esta forma se obtiene una estimación de estabilidad para la ecuación BBM cuando el operador espacial se discretiza y la variable temporal se mantiene como una variable continua (caso de aproximación semi-discreta). Basándonos en [14], aplicamos en el Capítulo 4 las fórmulas de cálculo discreto para mallas uniformes del Capítulo 2 para establecer una estimación de Carleman semi-discreta para una ecuación parabólica de cuarto orden semi-discreta. Como aplicación, siguiendo el método de unicidad de Hilbert, analizamos las propiedades de control/observación de los esquemas de aproximación numérica espacial de una ecuación parabólica lineal de cuarto orden. Estos resultados de controlabilidad son uniformes respecto al parámetro de discretización. El problema inverso discreto de Calderón con datos parciales se considera en el Capítulo 5. Extendemos el cálculo discreto del Capítulo 3 para dimensión arbitraria. Esto, permite demostrar una estimación discreta de Carleman para el operador Laplaciano, definido en una familia de mallas no uniformes obtenidas como la imagen suave de una malla uniforme, con observaciones de borde. Los resultados de este capítulo se basan en el trabajo [19]. Finalmente, el Capítulo 6 está dedicado a una breve discusión sobre algunas perspectivas sobre los principales resultados presentados en esta tesis.