Proceso de Poisson-Dirichlet: entropía y tiempos de aparición de nuevas especies

Abstract

En este trabajo se estudia el muestreo de especies y el proceso de aparición de nuevas especies, donde se tiene una secuencia de elementos que se clasifican de acuerdo a la especie a la cual pertenece. La cantidad de especies real es desconocida y se puede considerar infinita. Para esto, se estudia el Proceso de Poisson-Dirichlet de dos parámetros, que es un modelo Bayesiano no paramétrico que permite generar particiones aleatorias de infinitas componentes. Este proceso tiene dos propiedades muy importantes: es parcialmente conjugado consigo mismo y es capaz de modelar distribuciones con ley potencia. Bajo este contexto, se utiliza la entropía como medida de diversidad en la muestra. Por un lado, el resultado principal de esta tesis es una relación y unas desigualdades para la diferencia ponderada de la entropía esperada posterior entre dos pasos sucesivos en el caso del Proceso de Poisson-Dirichlet. Por otro lado, se estudia la distribución de los tiempos entre apariciones de nuevas especies, donde se obtiene un resultado para el tiempo esperado entre apariciones.

In this work we study the sampling of species and the process of appearance of new species, where we have a sequence of elements that are classified according to the species to which they belong. The actual number of species is unknown and can be considered infinite. For this, we study the two-parameter Poisson-Dirichlet Process, which is a Bayesian nonparametric model that allows to generate random partitions of infinite components. This process has two very important properties: it is partially conjugate with itself and it is able to model power-law distributions. In this context, entropy is used as a measure of diversity in the sample. On the one hand, the main result of this thesis is a relation and inequalities for the weighted difference of the posterior expected entropy between two successive steps in the case of the Poisson-Dirichlet Process. On the other hand, we study the distribution of times between appearances of new species, where we obtain a result for the expected time between appearances.