Subshifts sobre grupos virtualmente cíclicos

Abstract

El objetivo de este trabajo es estudiar las propiedades dinámicas de los subshifts de tipo finito definidos sobre grupos virtualmente-$\mathbb{Z}$. Éstos son una clase de grupos finitamente generados caracterizados por una condición geométrica que impone una estructura algebraica muy explícita. Buena parte de los resultados obtenidos siguen de recodificar subshifts sobre estos grupos como subshifts unidimensionales equipados con un grupo finito de homeomorfismos. El trabajo revela una teoría similar a la dinámica simbólica unidimensional, y distingue esta clase de objetos de los SFTs sobre $\Z^d,\, d \geq 2$ donde fallan caracterizaciones tan explícitas e intervienen nociones de computabilidad. El primer capítulo expone nociones generales de teoría de grupos y dinámica simbólica, junto con detallar propiedades de los grupos virtualmente-$\Z$. El segundo capítulo detalla el proceso de recodificación de un $G$-subshift con $G$ virtualmente-$\Z$ en un $\Z$-subshift equipado con finitos homeomorfismos. Además, se entregan algunos resultados generales para $\Z$-SFTs de este tipo inspirados en \cite{adlerKitchensMarcus, flipSystems}, junto con construir una extensión de Krieger adecuada en este contexto para $G$-subshifts sóficos. El tercer capítulo estudia una noción de transitividad adecuada para estos sistemas y muestra que poseen una única medida de entropía máxima. El cuarto capítulo generaliza al grupo diédrico infinito un teorema de B. Marcus \cite{marcuslogn}, que afirma que los $\Z$-SFTs con entropía $\geq \log N$ son extensiones del full-shift en $N$ símbolos. En el quinto capítulo se estudian las funciones zeta de sistemas con una acción de $T \times \Z$ donde $T$ es un grupo finito, y se calculan las funciones zeta de $T \times \Z$-subshifts de tipo finito y sóficos. También se prueba una versión de la fórmula de producto para sistemas con una acción de $T \times \Z$ donde $T$ es abeliano. Se incluye también un apéndice que define una noción de splittings y amalgamaciones en subshifts sobre grupos finitamente generados arbitrarios. En este contexto se prueba una versión general del teorema de Williams, y se entrega un formalismo matricial inspirado en \cite{zdsplits} que describe este proceso en $G$-SFTs de tipo nearest-neighbour.