Desarrollo de un método de integración nodal en mallas tetraédricas utilizando la descomposición del elemento virtual

Abstract

La integración numérica de los métodos de Galerkin para resolver problemas de valores de frontera tridimensionales en mallas poliédricas arbitrarias ha recibido recientemente una atención considerable en la literatura de análisis numérico. Por otro lado, la integración directa en los nodos es la más utilizada, porque se basa en menos evaluaciones, pero conduce a inestabilidades numéricas debido a un mecanismo similar a la subintegración y al desvanecimiento de las derivadas de las funciones de base en los nodos. En esta tesis, se presenta el desarrollo de un método de integración nodal en el espacio IR3 en mallas tetraédricas, que se basa en el marco matemático del elemento virtual. Adoptamos un método de aproximación para obtener las funciones de máxima entropía (maxent), con resultados de error de máquina en el test de la parcela para desplazamientos, debido a la propiedad intrínseca delta kronecker en el contorno del dominio. Además se utilizan las funciones de Mínimos Cuadrados Móviles Modificados (mmls), donde se incluyen restricciones adicionales sobre los coeficientes, permitiendo generar una aproximación más estable y computacionalmente más eficiente, pero que no llega al error de máquina en el test de la parcela para desplazamiento, principalmente por que éstas aproximaciones no tienen la propiedad delta kronecker cuando estas se calculan sobre el contorno del dominio. Las funciones de base construidas son no negativas, suaves, linealmente completas y más compactas en el caso mmls. La suavidad se controla mediante parámetros enteros positivos: el orden de normalización de la aproximación de las funciones y el radio del soporte que la aproximación. El esquema propuesto es una adaptación del método NIVED (Nodal Integration using the Virtual Element Descomposition) para espacios en IR2, el cual se extiende a tres dimensiones. En nuestro enfoque, las integrales de forma débil, se integran de forma nodal, utilizando celdas representativas de nodos ubicados en cuatro partes específicas del elemento. Estos nodos contienen la información de los desplazamientos nodales y variables de estado como las deformaciones y esfuerzos. La integración nodal se realiza mediante el Método de Elementos Virtuales VEM, donde la forma bilineal se descompone en una parte de consistencia y otra de estabilidad. En particular, el método propuesto va dirigido en el análisis lineal y no lineal de sólidos para pequeños desplazamientos y cinemática de pequeñas deformaciones. Varios ejemplos numéricos para elastoestática lineal y viscoelasticidad no lineal, demuestran la alta precisión y eficiencia del método para geometrías tridimensionales. Finalmente el método NIVED en la extensión tridimensional, demostró ser un esquema consistente, estable y convergente.