Representaciones de álgebras Casi-Jordan Generalizadas

Abstract

En este trabajo tratamos con álgebras conmutativas sobre un cuerpo tr, que satisfacen la identidad polinomial de grado cuatro 0{@'s)" - ((ry)r)r} i 1{r'y - ({ry)r)r} :0 (1) para (É, l) I (0,0), ([J,l) e px p. Estas rílgebras se ]laman Casi-Jorda¡r Generalizadas, y estudiaremos sus representariones suponiendo quc cha.r(F) I 2,3,5 y que éstas contienen un elemento idempotente e f 0. Primero que nada, dada un álgebra Casi-Jordan Generalizada,4 y un espacio vectorial 11,/ sobre F-, encontramos condiciones necesarias y suficientes para que una aplicación 1inea1 p : A --+ End(lV) sea una representación de A. A partir de este resultado se consigue una descomposición dcl módu1o M, anáJoga a 1a descomposición de Peirce de A. Ocupando esta descomposición y la descomposición dc Peirce de ,4, se describe completamente la acción de A sobre el módulo M. Después de esto, como el núcleo de una representación no es necesariamentc un ideal de á, encontra,mos condiciones suficientes para que lo sea. Se estudian también otras propiedades de los elementos de dicho núcleo. Para el caso de álgebras Casi-Jordan Generalizadas simples se sabe que si P I 0 o si B f 37 I 0, ellas son asociativas. Por otro lado se sabe tambien que si A + 3'l :0, Ia;s álgebras son de Jordan y en caso ,6 : 0, se prueba que las representaciones sobre álgebras simples son fieles. Fiaalmcnte estudiamos los módulos irreducibles sobre ,4, llegando en algunos casos estudiados a la conclusión que ser un módulo irreducible implica ser asociativo.