Una nueva visión para el Laplaciano fraccionario vía redes neuronales profundas

Abstract

Este trabajo de tesis está basado en el estudio, via redes neuronales profundas, del problema de Dirichlet fraccionario con condiciones de borde sobre un dominio acotado d-dimensional. El problema de estudio se introduce en el Capítulo 1, presentando motivaciones, además del resultado principal de esta tesis. Este consiste en demostrar que la solución del problema de Dirichlet fraccionario puede ser aproximado con redes neuronales profundas a precisión arbitraria, superando la maldición de la dimensionalidad. Para demostrar el teorema principal es necesario ciertas herramientas estocásticas y de aprendizaje profundo: en el Capítulo 2 se definen los procesos de Lévy, y los procesos isotrópicos α-estables que estarán relacionados con el Laplaciano fraccionario. En el Capítulo 3 se definen las redes neuronales profundas y las operaciones clásicas entre estos objetos. El Capítulo 4 define los procesos llamados Walk-on-Spheres, que se relacionan con los procesos α-estables de manera natural. El Capítulo 5 muestra que la solución del Problema de Dirichlet fraccionario se puede representar de manera estocástica, a partir de los procesos α-estables y a partir de los procesos Walk-on-Spheres. En los Capítulos 6, 7 y 8 se demuestra que la solución del Problema de Dirichlet fraccionario se puede aproximar mediante redes neuronales profundas que superan la maldición de la dimensionalidad a una precisión arbitraria. El Capítulo 6 involucra el caso con término de fuente nula, y el Capítulo 7 utiliza la parte asociada al término de fuente en la solución del Problema de Dirichlet fraccionario. En Capítulo 8 se unen los resultados de los Capítulos 6 y 7 para concluir el Teorema principal de esta Tesis. Finalmente, en el Capítulo 9 se discute sobre los resultados obtenidos, en las diferencias entre este trabajo y los resultados para el Problema de Dirichlet clásico. Se discute además sobre el trabajo a futuro.