Soluciones casi automórficas de ecuaciones diferenciales con argumento contante a trozos

Abstract

En esta tesis abordamos el problema de entregar condiciones suficientes para obtener la existencia y unicidad de la solución casi automórfica para las siguientes ecuaciones: i) Ecuaciones integrales de convolución. ii) Ecuaciones integro – diferenciales. iii) Ecuaciones diferenciales no-autónomas y iv) Ecuaciones diferenciales con argumento constante a trozos no-autónomas.

En el caso de las ecuaciones integrales de convolución se dan nuevos teoremas que permiten obtener la solución casi automórfica de una ecuación que es de tipo avanzado y retardado. Para estudiar la solución casi automórfica de las ecuaciones diferenciales no-autónomas se emplea la teoría de dicotomía exponencial, la que ayuda a obtener la ecuación integral equivalente en cuya expresión participa una función de Green que depende de dos variables; cuando ésta es Bi. Casi automórfica se logra determinar que la única solución es casi automórfica.

Al estudiar la solución casi automórfica compacta de ecuaciones diferenciales, se logra dar condiciones naturales bajo las cuales la función de Green es Bi-casi automórfica compacta. Esto es un hecho relevante ya que no se recurre a las condiciones espectrales de Acquistapece-Terrini (entre otra) [23] para poder obtener esta propiedad. De esa manera se logra probar que una ecuación con matriz de coeficientes casi automórfica compacta y con perturbación casi automórfica compacta entrega bajo condiciones adecuadas una única solución casi automórfica compacta

Al estudiar las ecuaciones diferenciales con argumentos constante a trozos, introducimos a las funciones Z-casi automórficas, que se utilizan para estudiar un sistema neutral autónomo de ecuaciones diferenciales con argumento constante a trozos. Para estudiar el caso no-autónomo seguimos el trabajo realizado por R. Yuan y H. Jialin [54] en el contexto de las funciones casi periódicas, sus resultados son extendidos y mejorados.

Finalmente, se da una explicación a la existencia y unicidad de la solución casi automórfica para el modelo de Lasota- Wazewska con argumento constante a trozos.