Spectral properties of magnetic quantum hamiltonians

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es estudiar las propiedades espectrales de ciertos hamiltonianos cuánticos magnéticos, que aparecen en la teoría matemática del efecto cuántico de Hall, bajo perturbaciones que son relativamente compactas. El operador no perturbado tiene la forma Ho = HLandau +W, donde HLandau es el hamiltoniano de Landau, es decir, el operador de Schrödinger magnético en dos dimensiones con campo magnético constante y W es el llamado potencial borde, que modela las propiedades del medio, donde se supone que estas varían en sólo una dirección. Consideramos dos casos esencialmente diferentes: W monótono y W peřiódico. Debido a su invariancia con respecto al grupo de traslaciones unidimensionales, el operador Ho es unitariamente equivalente a una integral directa, cuyas fibras forman una familia analítica de Kato de operadores de Schrödinger unidimensionales con espectro puramente discreto. Por lo tanto el espectro de Ho tiene estructura de bandas. El operador perturbado tiene la forma H = Ho+V, donde el potencial decae al infinito y modela una impureza localizada. Principalmente nos interesa la distribución asintótica del espectro discreto de H que está en una laguna abierta de su espectro esencial. En el caso monótono damos una condición suficiente, de carácter geométrico, que garantiza que el número de valores propios discretos de H en cada laguna abierta de su espectro esencial, es finito. Mientras que el caso periódico vemos que este número es siempre infinito. Si una laguna contiene infinitos valores propios de H, consideramos la convergencia de estos valores propios al borde de la laguna, la cual es descrita en términos de hamiltonianos efectivos adecuados. En el caso de V con soporte compacto obtenemos cotas asintóticas de los valores propios cerca del borde, que son precisas en cuanto al orden. El estudio de la distribución asintótica del espectro discreto requiere un estudio detallado de las funciones de banda del operador no perturbado Ho. Aquí desarrollamos este análisis y obtenemos una serie de resultados que podrían ser de interés en sí mismas, ya que ellos tienen aplicaciones potenciales en modelos y problemas relacionados.

The main task of this thesis is to study the spectral properties of certain 2D magnetic quantum Hamiltonians, which arise in the mathematical theory of the quantum Hall effect, under relatively compact perturbations. The unperturbed operator is of the form Ho = HLandau+W where HLandau is the Landau Hamiltonian, i.e. the 2D magnetic Schrödinger operator with constant magnetic field, and W is the so-called edge potential modeling the properties of the media which are supposed to vary only in one direction. We consider two essentially different cases: monotone W and periodic W. Due to its invariance with respect to a one-dimensional group of translations, the operator Ho is unitarily equivalent to a direct integral whose fibres form a Kato analytic family of 1D Schrödinger operators with purely discrete spectrum. Therefore, the spectrum of Ho has a band structure. The perturbed operator has the form H = Ho+V where the potential V decays at infinity, and models a localized impurity. We are mainly interested in the asymptotic distribution of the discrete spectrum of H lying in an open gap of its essential one. In the case of a monotone W we establish a sufficient condition of geometric nature which guarantees that the number of the discrete eigenvalues of H in any open gap in its essential spectrum is finite, while in the case of periodic W we show that this number is always infinite. If a given gap contains infinitely many eigenvalues of H, we consider the convergence of these eigenvalues to the edges of the gap, which is described in the terms of appropriate effective Hamiltonians. In the case of compactly supported V we obtain asymptotic bounds of the eigenvalues near the edges of the gap, which are sharp in order. The study of the asymptotic distribution of the discrete spectrum requires a detailed study of the band functions of the unperturbed operator Ho. We perform this analysis and obtain a series of results which may be of independent interest since they have potential applications in related problems and models.