Estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales con retardo en espacios de Banach

Abstract

En este trabajo hacemos un estudio sobre existencia y comportamiento asintótico de soluciones débiles de los sistemas diferenciales con retardo Z'(t) = A(t)Z(t) + R(t)(Z(t) - Z(t-r(t))) y Z'(t) = A(t)Z(t) + R(t)Z(t-r(t)) en un espacio de Bаnach E. Obtenemos versiones de los Teoremas asintóticos de Levinson y de HartmanWintner respectivamente para estos sistemas. Suponiendo que la ecuación homogénea abstracta X'(t) = A(t)X(t) posee una tricotomía del tipo Levinson o del tipo Hartman-Wintner, según corresponda, estudiamos las ecuaciones con retardo como versiones perturbadas de este sistema homogéneo. Establecemos condiciones de integrabilidad a la perturbación R(t) y al retardo r(t) para obtener resultados sobre existencia y comportamiento asintótico. Los resultados obtenidos son aplicados a ecuaciones con retardo de tipo escalar y matricial en espacios de dimensión finita y para A(t) constante en dimensión infinita. Finalmente determinamos condiciones sobre el espectro de A(t) que garantizan la tricotomía de Hartman-Wintner de la ecuación homogénea, y conseguimos así una versión espectral del Teorema de Hartman para ecuaciones con retardo. Los resultados principales del trabajo son obtenidos usando el Teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff.

In this work we study the existence and the asymptotic behaviour of mild solutions of the delayed linear differential systems Z'(t) = A(t)Z(t) +R(t)(Z(t)-Z(t-r(t))) and Z'(t) = A(t)Z(t)+R(t)Z(t-r(t)) on a Banach space E. For both systems, we obtain versions of the asymptotic Levinson's and Hartman-Wintner's Theorems respectively. By assuming that the homogeneous differential equation X'(t) = A(t)X(t) has either a Levinson or a Hartman-Wintner tricotomy, depending on wich correspond, we study the delay equations as if they were perturbed versions of this abstract homogeneous differential system. We establish integrability conditions for both the perturbation R(t) and the delay r(t) to obtain results regarding the existence and asymptotic bahaviour of mild solutions. In finite dimensional space the results are applied to scalar and matrix delay equations, while in infinite dimensional space, we apply the result with A(t) constant. Finally we determine conditions on the speсtrum of A(t) that guarantee the Hartman-Wintner tricotomy for the homogeneous differential equation wich lead us to a spectral version of the Hartman-Wintner Theorem for delay systems. The main results of this work are obtained by using the Schauder-Tychonoff's fixed point Theorem.