Álgebras comunicativas que satisfacen una identidad polinominal de grado cuatro

Abstract

Este trabajo trata sobre álgebras conmutativas sobre un cuerpo F que satisfacen la identidad polinomial : 2B {(xy)² -x²y²} + y {((xy)x)y+ ((xy)y)x- (y²x)x- (x²y)y} =0. (1) Relacionamos las álgebras que satisfacen esta identidad, con álgebras que satisfacen alguna identidad polinomial más estudiada, como es el caso de las álgebras alternativas. Las relaciones son obtenidas a partir de la suposición de nuevas hipótesis en la álgebra, por ejemplo la existencia de elemento identidad 1 implica que la álgebra es alternativa y si suponemos que esta álgebra posee una forma traza no degenerada tal que car(F) ≠ 2 y 2B + 7 ≠ 0 entonces la álgebra satisface la identidad a³b - a(a(ab)) = 0 que es una generalización de la alternatividad. Estudiamos de manera separada, el caso en que y = 0 para el cual se obtienen algunas identidades, que-llevan a concluir que-el conjunto de los elementos nilpotentes forma una subálgebra. Con estas identidades, también se obtienen resúltados sobre la relación entre là nilpotencia de elementos del álgebra y los operadores de multiplicación y además se presenta una interpretación de estas identidades en términos de ideales del álgebra. Demostramos que para el caso en que A es una álgebra que satisface la identidad (1) con y+B≠0el subespacio generado por aquellos elementos de la forma a2b - a(ab) es un ideal de A y mostramos como el método usado en esta demostración puede ser utilizado para demostrar que el subespacio generado por los elementos de la forma (ab)c - a(bc) forma un ideal en las álgebras que satisfacen otra identidad polinomial de grado 4 distinta de (1). Se prueba la existencia de una forma traza, la cual no necesariamente es no degenerada. Adicionalmente demostramos de manera similar; la existencia dé una forma traza para álgebras que satisfacen otra identidad polinomial de grado 4. Estudiamos en detalle la descomposición de Peirce con objeto de explicitar la estructura de las álgebras simples que satisfacen la identidad (1), para este objetivo se demuestran diversos resultados acerca de las raíces de los polinomios de Peirce. Finalmente mostramos algunos problemas abiertos y comentarios que se obtienen a partir del análisis de los resultados presentados en esta tésis.

In the present work we study commutative algebras over a field F satisfying the following polynomial identity: 2B {(xy)² - x²y²} + 7{((xy)x)y + ((xy)y)x-(y²x)x-(x²y)y} =0. (2) We show the relation between these algebras and altenative algebras. By assuming the existence of a unity element 1 we prove that the algebra is an alternative algebra. Also we show that if car(F) 2, 2B+7 ≠0 and the algebra posseses a non degenerated trace form, then it must satisfy the identity a3b-a(a(ab)) = 0 which is a generalization of the alternative law. In the particular case of y = 0 we prove using an identity obtained from (2) that the set of all nilpotent elements of the algebra forms a subalgebra and we show some results about the relation between the nilpotency of an element and the nilpotency of the multiplication operator. If A is a commutative algebra satisfying the identity (2) and y+ẞ ≠ 0 we prove that the generated subspace of A spanned by the elements of the form a2b - a(ab) is an ideal of A. Moreover we prove using the same technique that if A satisfies another identity of degree four then the subspace of A spanned by the elements of the form (ab)c- a(bc) is an ideal of A. We prove the existence of a trace form which is not necessarilly non degenerated in algebras satisfying (2) and we show some extra results for an aditional identity of degree *four. We deal with the Peirce decomposition of an algebra satisfying (2), we prove some facts about the roots of the Peirce Polynomials and we explain how this results can be used to get information about the structure of simple algebras of these kind. Finally we show some open problems and comments that arise from the results presented in this thesis.