Regularity and qualitative properties for solutions of some evolution equations

Abstract

En muchos casos una ecuación diferencial parcial puede ser reescrita como una ecuación diferencial ordinaria tomando valores en un espacio vectorial de dimensión infinita. Esto motiva el estudio de ecuaciones de evolución definidas sobre espacios abstractos, en especial sobre espacios de Banach. Esta tesis forma parte de esta teoría. De hecho, nosotros investigamos existencia, unicidad y propiedades cualitativas de las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales abstractas con valores en un espacio de Banach. En relación a las ecuaciones diferenciales en general, uno de los principales aspectos que se debe estudiar es la existencia de soluciones. Por este motivo, nosotros establecemos condiciones suficientes que garantizan la existencia de soluciones mild para dos ecuaciones de evolución. Específicamente, estudiamos la existencia de soluciones mild de una ecución integrodiferencial y de una ecuación diferencial no autónoma de segundo orden sometidas a condiciones iniciales no locales. Abordamos estos problema usando teoría de operadores de evolución, fórmulas de varación de parametros y teoremas de punto fijo asociados al concepto de medida de no compacidad. Además, es un hecho conocido que en relación a ecuaciones diferenciales, otro tópico importante de estudio es el comportamiento cualitativo de las soluciones. Es por esto que estudiamos existencia y unicidad de soluciones periódicas clásicas de algunas ecuaciones de evolución. En concreto, hemos considerado una ecuación diferencial abstracta de tercer orden y una ecuación neutral de orden fraccionario con retardo finito. Además, estudiamos la propiedad de regularidad maximal de estas ecuaciones en algunos espacios de funciones, como por ejemplo espacios periódicos de Lebesgue, espacios periódicos de Besov y espacios periódicos de Triebel-Lizorkin. El método que usamos para lograr nuestro cometido es una versión operador-valuada del teorema de multiplicadores de Fourier de Miklhin. En el caso de espacios periódicos de Lebesgue nuestros resultados involucran la noción de espacios UMD y el concepto de R-acotamiento de familias de operadores. Por otro lado, en los casos de espacios periódicos de Besov y Triebel-Lizorkin nuestros resultados sólo involucran acotamiento de familias de operadores y no imponemos ninguna condición adicional sobre el espacio de Banach donde las ecuaciones estén definidas.

In many cases a partial differential equation can be rewritten as an ordinary differential equation taking values in an infinite dimensional vector space. This motivates the study of evolution equations defined in abstract spaces, especially in Banach spaces. This thesis forms part of this theory. Indeed, we investigate the existence, uniqueness and qualitative properties of the solutions of some abstract differential equations with values in Banach spaces. Regarding to general differential equations, one of the main subject of study is related with the existence of solutions. For this reason, we establish some conditions which guarantee the existence of mild solutions for two evolution equations. Specifically, we study the existence of mild solutions for an integrodifferential equation and a second order non-autonomous differential equation submitted to nonlocal initial conditions. Our approach is based on the theory of evolution operators, variation of parameters formulas and fixed-point theorems associated with the concept of measure of noncompactness. Furthermore, it is a well known fact that concerning to differential equations, another important topic of research is the study of qualitative properties of their solutions. Motivated by this, we study the existence and uniqueness of periodic strong solutions for some evolution equations. Moreover, we analyse the property of maximal regularity of these equations in periodic Lebesgue spaces, periodic Besov spaces and periodic Triebel-Lizorkin spaces. In specific, we have studied a third-order abstract differential equation and a fractional order neutral equation with finite delay. The main tool which we have used to achieve our goal is an operator-valued version of Miklhin's Fourier multiplier theorem. In the case of periodic Lebesgue spaces our results involve the concept of UMD spaces and the notion of R-boundedness for families of operators. In the case of periodic Besov spaces and periodic Triebel-Lizorkin spaces our results only involve a boundedness conditions for some families of the operators. Moreover, we do not impose any additional condition for the Banach space where the equations are defined.