On the refined Birch-Swinnerton-Dyer conjecture

Abstract

Dada una curva el´ıptica E/Q, la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer predice que el rango de E y el orden de anulaci´on de L(E, s) en s = 1 son iguales. M´as a´un, una formulaci´on m´as fuerte de esta conjetura relaciona el coeficiente l´ıder de L(E, s) en s = 1 con invariantes aritm´eticos de E. En 1987 Mazur y Tate formularon un an´alogo refinado a estas conjeturas en un layer finito M, donde la funci´on L es reemplazada por el elemento de Mazur-Tate ΘM. Propondremos dos conjeturas similares a las presentadas por Mazur y Tate y presentaremos evidencia numerica soportando estas conjeturas.

Given an elliptic curve E/Q, the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture predicts that the rank of E and the vanishing order of L(E, s) at s = 1 are equal. Furthermore, a stronger formulation of this conjecture relates the leading coefficient of L(E, s) at s = 1 and arithmetic invariants of E. In 1987 Mazur and Tate formulated refined analogs of these conjectures at a finite layer M, where the L-function is replaced by the Mazur-Tate element ΘM. We will state two conjectures similar to conjectures presented by Mazur and Tate, and present numerical evidence supporting these conjectures.