A numerical algorithm for mirror sweeping processes

Abstract

Esta tesis explora un caso particular del Proceso de Arraste Degenerado, un problema de evolución descrito por una inclusión diferencial, en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. La dinámica involucra un operador representado por el gradiente de una función semicontinua inferior, convexa y propia, inspirada en el mapeo utilizado en el algoritmo de descenso espejo. Nos referimos a esta dinámica como Mirror Sweeping Process. Para comenzar introducimos un operador, que llamamos aproximador, que generaliza la proyección a conjuntos y mostramos algunas caracterizaciones y propiedades. A continuación mostramos las condiciones necesarias para la suavidad de la preimagen de un conjunto convexo. Finalmente, construimos una familia de soluciones aproximadas al Mirror Sweeping Process mediante un algoritmo númerico gobernado por el operador aproximador. Demostramos que esta familia converge uniformemente a la única solución del Proceso de Arrastre Degenerado, la cual no requiere ni compacidad de los conjuntos en movimiento ni linealidad del operador.

This thesis explores a particular case of the Degenerate Sweeping Process, an evolution problem described by a differential inclusion, in an infinite-dimensional Hilbert space. The dynamic involves an operator represented by the gradient of a lower semicontinuous, convex and proper function, inspired by the mapping used in the mirror descent algorithm. We refer to this dynamic as the Mirror Sweeping Process. To begin we introduce an operator, which we call approximator, that generalizes the projection to sets and show some characterization and properties. Following that we show necessary conditions for the smoothness of the preimage of a convex set. Finally, we construct a family of approximated solutions to the Mirror Sweeping Process through numerical algorithm governed by the approximator operator. We show that this family converges uniformly to the one and only solution of the Degenerate Sweeping Process, which does not require neither compactness of the sets or linearity of the operator.